Основано на упр. 6, стр. 7.

Реши задачу

На рисунке прямая \(PM\) пересекает плоскость \(\alpha\) в точке \(M\) , \(N \in PM\) , причём \(MN:NP=2:1\) , \(PP\_{1} \parallel NN\_{1}\) , \(NN\_{1}=14\) см, \(P\_{1}\) и \(N\_{1}\) — точки пересечения параллельных прямых с плоскостью \(\alpha\) .

а) Докажи, что точки \(M\) , \(N\_{1}\) и \(P\_{1}\) лежат на одной прямой.

б) Найди длину отрезка \(PP\_{1}\) .

Решение.

а) Прямые \(NN\_{1}\) и \(PP\_{1}\) задают некоторую плоскость, так как параллельныепрямые [лежат в параллельных плоскостях|лежат в одной плоскости|лежат в разных плоскостях|лежат в пересекающихся плоскостях]. Обозначим эту плоскость буквой \(\beta\) . Тогда по аксиоме [ \(A\_{1}\) | \(A\_{2}\) | \(A\_{3}\) ] прямая \(NP\) лежит [в плоскости \(\alpha\) |в параллельной плоскости|в плоскости \(MN\) |в плоскости \(\beta\) ] и поэтому \(M \in \beta\) , так как [ \(M \in \PP\_{1}\) | \(M \in \NP\_{1}\) | \(M \in NP\) | \(M \in \alpha\) ]. Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) имеют общую точку \(M\) , а потому, согласно [аксиоме \(A\_{1}\) |аксиоме \(A\_{2}\) |аксиоме \(A\_{3}\) ], пересекаются по прямой, на которой лежат все общие точки [этих прямых|этих плоскостей|прямых \(NP\) и \(N\_{1}P\_{1}\) ]. Точки \(M\) , \(N\_{1}\) и \(P\_{1}\) — общие точки [плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\) |прямых \(MP\) и \(MP\_{1}\) |прямых \(NN\_{1}\) и \(PP\_{1}\) |прямой и плоскости], следовательно, они лежат на одной [плоскости|прямой|отрезке|полуплоскости].

б) \(\triangle MNN\_{1} \sim \triangle MPP\_{1}\) , так как \(NN\_{1} \parallel\) [ ], поэтому \(\dfrac{MN}{MP}=\) [ ], т. е. \(2 \ :\) [ ] \(=\) [ ] \(: PP\_{1}\) , откуда \(PP\_{1}=\) [ ] \(= \ 1,5 \ \cdot\) [ ] \(=\) [ ].

Ответ:б)[ ].