Четырёхугольник ABCD — квадрат, O — точка пересечения его диагоналей, OM\perp ABC. Докажи, что: а) BD\perp MA и BD\perp MC; б) AC\perp MB и AC\perp MD. Доказательство. Четырёхугольник ABCD — (по условию), AC и BD , пересекающиеся в точке O, тогда AC BD . Так как по условию MO (ABCD), то MO AC и MO BD. а) Рассмотрим плоскость AMC. Так как прямая BD AC, BD MO, т. е. BD перпендикулярна к двум прямым и плоскости (AMC), то BD (AMC), по признаку прямой и плоскости. Тогда прямая BD к любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, BD MA и BD MC, что и требовалось доказать. б) Рассмотрим плоскость BMD. Так как прямая AC BD, AC MO, т. е. AC к двум прямым и плоскости (BMD), то AC (BMD), по признаку прямой и . Тогда прямая AC к прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, AC MB и AC MD, что и требовалось доказать.
Логотип SimpleЦДЗ

Похожие

Задание

Выполни задание

Четырёхугольник \(ABCD\) — квадрат, \(O\) — точка пересечения его диагоналей, \(OM\perp ABC\) . Докажи, что:

а) \(BD\perp MA\) и \(BD\perp MC\) ;

б) \(AC\perp MB\) и \(AC\perp MD\) .

Доказательство.

Четырёхугольник \(ABCD\) — [прямоугольник|ромб|квадрат] (по условию), \(AC\) и \(BD\) [стороны|диагонали|высоты], пересекающиеся в точке \(O\) , тогда \(AC\) [ \(\cap\) | \(\perp\) | \(\parallel\) ] \(BD\) . Так как по условию \(MO\) [ \(\cap\) | \(\perp\) | \(\parallel\) ] \((ABCD)\) , то \(MO\) [ \(\cap\) | \(\perp\) | \(\parallel\) ] \(AC\) и \(MO\) [ \(\cap\) | \(\perp\) | \(\parallel\) ] \(BD\) .

а) Рассмотрим плоскость \(AMC\) . Так как прямая \(BD\) [ \(\cap\) | \(\perp\) | \(\parallel\) ] \(AC\) , \(BD\) [ \(\cap\) | \(\perp\) | \(\parallel\) ] \(MO\) , т. е. \(BD\) перпендикулярна к двум [параллельным|пересекающимся] прямым [ ] и [ ] плоскости \((AMC)\) , то \(BD\) [ \(\cap\) | \(\perp\) | \(\parallel\) ] \((AMC)\) , по признаку [параллельности|перпендикулярности|пересечения] прямой и плоскости. Тогда прямая \(BD\) [параллельна|перпендикулярна] к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Следовательно, \(BD\) [ \(\cap\) | \(\perp\) | \(\parallel\) ] \(MA\) и \(BD\) [ \(\cap\) | \(\perp\) | \(\parallel\) ] \(MC\) , что и требовалось доказать.

б) Рассмотрим плоскость \(BMD\) . Так как прямая \(AC\) [ \(\cap\) | \(\perp\) | \(\parallel\) ] \(BD\) , \(AC\) [ \(\cap\) | \(\perp\) | \(\parallel\) ] \(MO\) , т. е. \(AC\) [параллельна|перпендикулярна] к двум [пересекающимся|параллельным] прямым [ ] и [ ] плоскости \((BMD)\) , то \(AC\) [ \(\cap\) | \(\perp\) | \(\parallel\) ] \((BMD)\) , по признаку [пересечения|параллельности|перпендикулярности] прямой и [прямой|плоскости]. Тогда прямая \(AC\) [перпендикулярна|параллельна] к [одной|двум|любой] прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, \(AC\) [ \(\cap\) | \(\perp\) | \(\parallel\) ] \(MB\) и \(AC\) [ \(\cap\) | \(\perp\) | \(\parallel\) ] \(MD\) , что и требовалось доказать.

Тот же тест