Выполни задание
Четырёхугольник \(ABCD\) — квадрат, \(O\) — точка пересечения его диагоналей, \(OM\perp ABC\) . Докажи, что:
а) \(BD\perp MA\) и \(BD\perp MC\) ;
б) \(AC\perp MB\) и \(AC\perp MD\) .
Доказательство.
Четырёхугольник \(ABCD\) — [прямоугольник|ромб|квадрат] (по условию), \(AC\) и \(BD\) [стороны|диагонали|высоты], пересекающиеся в точке \(O\) , тогда \(AC\) [ \(\cap\) | \(\perp\) | \(\parallel\) ] \(BD\) . Так как по условию \(MO\) [ \(\cap\) | \(\perp\) | \(\parallel\) ] \((ABCD)\) , то \(MO\) [ \(\cap\) | \(\perp\) | \(\parallel\) ] \(AC\) и \(MO\) [ \(\cap\) | \(\perp\) | \(\parallel\) ] \(BD\) .
а) Рассмотрим плоскость \(AMC\) . Так как прямая \(BD\) [ \(\cap\) | \(\perp\) | \(\parallel\) ] \(AC\) , \(BD\) [ \(\cap\) | \(\perp\) | \(\parallel\) ] \(MO\) , т. е. \(BD\) перпендикулярна к двум [параллельным|пересекающимся] прямым [ ] и [ ] плоскости \((AMC)\) , то \(BD\) [ \(\cap\) | \(\perp\) | \(\parallel\) ] \((AMC)\) , по признаку [параллельности|перпендикулярности|пересечения] прямой и плоскости. Тогда прямая \(BD\) [параллельна|перпендикулярна] к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Следовательно, \(BD\) [ \(\cap\) | \(\perp\) | \(\parallel\) ] \(MA\) и \(BD\) [ \(\cap\) | \(\perp\) | \(\parallel\) ] \(MC\) , что и требовалось доказать.
б) Рассмотрим плоскость \(BMD\) . Так как прямая \(AC\) [ \(\cap\) | \(\perp\) | \(\parallel\) ] \(BD\) , \(AC\) [ \(\cap\) | \(\perp\) | \(\parallel\) ] \(MO\) , т. е. \(AC\) [параллельна|перпендикулярна] к двум [пересекающимся|параллельным] прямым [ ] и [ ] плоскости \((BMD)\) , то \(AC\) [ \(\cap\) | \(\perp\) | \(\parallel\) ] \((BMD)\) , по признаку [пересечения|параллельности|перпендикулярности] прямой и [прямой|плоскости]. Тогда прямая \(AC\) [перпендикулярна|параллельна] к [одной|двум|любой] прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, \(AC\) [ \(\cap\) | \(\perp\) | \(\parallel\) ] \(MB\) и \(AC\) [ \(\cap\) | \(\perp\) | \(\parallel\) ] \(MD\) , что и требовалось доказать.