Дан куб ABCDA_1B_1C_1D_1. Докажи, что диагональ куба B_1D перпендикулярна к диагонали AC его основания. Доказательство. Так как ABCDA_1B_1C_1D_1 — (по условию), то AA_1B_1B и BB_1C_1C — , тогда B_1B BA и B_1B BC. Значит, B_1B \perp (ABC) по признаку прямой и плоскости. Рассмотрим плоскость B_1BD. Поскольку AC BD, так как и — , и AC B_1B, так как B_1B (ABC) и BD B_1B, то AC (B_1BD) по признаку прямой и плоскости. Тогда прямая AC к прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, , что и требовалось доказать.
Логотип SimpleЦДЗ

Похожие

Задание

Выполни задание

Дан куб \(ABCDA\_1B\_1C\_1D\_1\) . Докажи, что диагональ куба \(B\_1D\) перпендикулярна к диагонали \(AC\) его основания.

Доказательство.

  1. Так как \(ABCDA\_1B\_1C\_1D\_1\) —
    [пирамида|куб|параллелепипед]
    (по условию), то
    [ребра|грани|вершины] \(AA\_1B\_1B\) и \(BB\_1C\_1C\) —
    [ромбы|прямоугольники|квадраты]
    , тогда \(B\_1B\) [ \(\cap\) | \(\perp\) | \(\parallel\) ] \(BA\) и \(B\_1B\) [ \(\cap\) | \(\perp\) | \(\parallel\) ] \(BC\) . Значит, \(B\_1B \perp (ABC)\) по признаку
    [перпендикулярности|параллельности|пересечения]
    прямой и плоскости.

  2. Рассмотрим плоскость \(B\_1BD\) .
    Поскольку \(AC\) [ \(\cap\) | \(\perp\) | \(\parallel\) ] \(BD\) , так как
    [ ] и
    [ ] —
    [стороны|диагонали|биссектрисы][ромба|квадрата|прямоугольника]
    , и \(AC\) [ \(\cap\) | \(\perp\) | \(\parallel\) ] \(B\_1B\) , так как \(B\_1B\) [ \(\cap\) | \(\perp\) | \(\parallel\) ] \((ABC)\) и \(BD\) [ \(\cap\) | \(\perp\) | \(\parallel\) ] \(B\_1B\) , то \(AC\) [ \(\cap\) | \(\perp\) | \(\parallel\) ] \((B\_1BD)\) по признаку
    [параллельности|пересечения|перпендикулярности]
    прямой и плоскости. Тогда прямая \(AC\) [параллельна|перпендикулярна]
    к
    [одной|любой]
    прямой, лежащей в этой плоскости.

    Следовательно, [ ][ \(\cap\) | \(\perp\) | \(\parallel\) ][ ], что и требовалось доказать.

Тот же тест