Задание ![]()
Основано на упр. 32, стр. 24-25
Дополни доказательство
Докажи, что отрезки, соединяющие середины противоположных рёбер тетраэдра, пересекаются и точкой пересечения делятся пополам (задача 101 учебника).
Доказательство.
- линии треугольников
- \(BD\)
- \(\dfrac{1}{2}BD\)
- \(BD\)
- \(\dfrac{1}{2}BD\)
- \(NP\)
- \(NP\)
- параллелограмм
- диагонали
- \(AD\)
- \(BC\)
- \(CD\)
- \(AB\)
- параллелограмм
- и в точке пересечения
- делятся пополам
- \(O\)
- \(ABD\) и \(DBC\)
- Пусть \(M\) , \(N\) , \(P\) и \(Q\) — середины рёбер \(DA\) , \(DC\) , \(BC\) и \(АВ\) тетраэдра \(DABC\) . Тогда отрезки \(MQ\) и \(NP\) — средние [ ][ ], и поэтому \(MQ||\) [ ] и \(MQ\) = [ ], \(NP||\) [ ] и \(NP\) = [ ]. Следовательно, \(MQ||\) [ ] и \(MQ\) = [ ], и, значит, четырёхугольник \(MNPQ\) — [ ], а отрезки \(MP\) и \(NQ\) — его [ ]. Отсюда следует, что отрезки \(MP\) и \(NQ\) , соединяющие середины противоположных рёбер [ ],[ ], [ ]и [ ] тетраэдра \(DABC\) , пересекаются и точкой пересечения \(О\) делятся пополам.
- Теперь рассмотрим отрезки \(NQ\) и \(EF\) , соединяющие середины противоположных рёбер \(CD\) и \(АВ\) , \(BD\) и \(АС\) . Как и в п. 1, можно доказать, что четырёхугольник \(ENFQ\) — [ ] и, следовательно, его диагонали \(EF\) и \(NQ\) пересекаются [ ][ ], т. е. в точке [ ].
Итак, точка \(О\) является серединой отрезков \(MP\) , \(NQ\) и \(EF\) , что и требовалось доказать.