Основано на упр. 2, стр. 22.
Заполни пропуски в решении
Докажи, что последовательность не является ограниченной.
- \(x\_n = n^{\cos \pi n}, n \in N\) ;
- \(x\_n = \dfrac {100 - n^3}{n^2 - 10}\) .
Решение.
Покажем, что для любого \(С \gt 0\) найдётся член последовательности, больший \(С\) . Действительно, если \(n = 2k\) , где \(k \in N\) , то \(\cos2 \pi k = \) [ ]и \(x\_{2k}= 2k\) . Следовательно, если теперь взять произвольное положительное число \(С\) и чётное число \(2k\) , большее \(С\) , то справедливонеравенство \(x\_{2k} = 2k \gt C\) , т. е. для любого \(С \gt 0\) найдётся член последовательности, больший заданного числа \(С\) , и, значит,последовательность не является ограниченной.
Покажем, что для любого \(С \gt 0\) найдётся \(x\_n\) , для которого будет выполняться неравенство \(|x\_n| \gt C\) . Из формулы общего члена имеем
\(|x\_n| = \dfrac {n^3 \left| \dfrac {100}{n^3} - 1 \right|}{n^2\left|1 - \dfrac {10}{n^2}\right|} = n\left|\dfrac {\dfrac {100}{n^3} - 1}{1 - \dfrac {10}{n^2}}\right|\)
Если \(n \ge 6\) , то \(\dfrac {100}{n^3} \lt \dfrac 1 2\) и \(1 - \dfrac {100}{n^3} \gt \dfrac 1 2\) , a \(0 \lt 1 - \dfrac {10}{n^2} \lt 1\) , поэтому \(|x\_n| = n \dfrac {1 - \dfrac{100}{n^3}}{1 - \dfrac {10}{n^2}} \gt n \dfrac {\frac{1}{2}}{1} = \) [ ]. Для произвольного положительного числа \(С\) возьмём \(n \gt 2C\) (например, \(п = [2С]+1\) ),тогда \(|x\_n| \gt \dfrac n 2 \gt С\) , и, значит, данная последовательность не ограничена.