Основано на упр. 3, стр. 23 Докажи, что последовательность x_n = \dfrac {3^n}{n!}, n \in N убывает, начиная с некоторого номера. Решение. Докажем, что каждый предыдущий член последовательности, начиная с некоторого номера, будет больше последующего. Для этого рассмотрим отношение \dfrac{x_n + 1}{x_n} = \dfrac {3^{n+1}n!}{(n+1)!3^n} = \dfrac {3}{n+1}. Если n \ge 3, то \dfrac 3{n+1} \lt , и поэтому выполняется неравенство \frac {x_{n+1}}{x_n} \lt и, значит, x_{n+1}\lt x_n, так как x_n \lt 0. Следовательно, последовательность убывает, начиная с n= .

Задание

Основанонаупр.3, стр.23
Заполнипропускиврешении

Докажи, чтопоследовательность \(x\_n=\dfrac{3^n}{n!}, n\inN\) убывает, начинаяснекоторогономера.

Решение.Докажем, чтокаждыйпредыдущийчленпоследовательности, начинаяснекоторогономера, будетбольшепоследующего.Дляэтогорассмотримотношение \(\dfrac{x\_n+1}{x\_n}=\dfrac{3^{n+1}n!}{(n+1)!3^n}=\dfrac{3}{n+1}\) . Если \(n\ge3,\) то \(\dfrac3{n+1}\lt\) [ ] , ипоэтомувыполняетсянеравенство \(\frac{x\_{n+1}}{x\_n}\lt\) [ ]и, значит, \(x\_{n+1}\ltx\_n\) , таккак \(x\_n\lt0\) .Следовательно, последовательностьубывает, начинаяс \(n=\) [ ].

Похожие

Тот же тест