На основе упражнения 134 (стр. 62). Докажите, что середины отрезков совпадают Точки K и M — середины сторон AB и CD четырёхугольника ABCD, изображённого на рисунке, точки P и T — середины диагоналей AC и BD. Докажите, что середины отрезков KMи PT совпадают. Доказательство: Пусть точка X — середина отрезка KM, точка Y — середина отрезка PT. Тогда для произвольной точки O имеем: \overrightarrow{OX}=\frac{1}{2} \cdot (\overrightarrow{OK} \overrightarrow{OM}) и \overrightarrow{OY}= \cdot (\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OT}). По условию задачи точки K и M — середины отрезков AB и , следовательно, \overrightarrow{OK}= \cdot (\overrightarrow{OA}+ ), \space \overrightarrow{OM}= \cdot (\overrightarrow{OC}+ ). Аналогично \overrightarrow{OP}= . (\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC}) и \overrightarrow{OT} = . Подставляя найденные выражения в формулы (1) и (2), получим: \overrightarrow{OX} = \dfrac{1}{2} (\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})+ (\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})) = \dfrac{1}{4}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+ ), \overrightarrow{OY}= = . Отсюда следует, что \overrightarrow{OX} = \overrightarrow{OY}. Так как от точки O можно отложить только , вектор, равный данному, то точки X и совпадают, следовательно, совпадают середины отрезков , что и требовалось доказать.
Логотип SimpleЦДЗ

Похожие

Задание

На основе упражнения 134 (стр. 62).

Докажите, что середины отрезков совпадают

Точки \(K\) и \(M\) — середины сторон \(AB\) и \(CD\) четырёхугольника \(ABCD\) , изображённого на рисунке, точки \(P\) и \(T\) — середины диагоналей \(AC\) и \(BD\) . Докажите, что середины отрезков \(KM\) и \(PT\) совпадают.

Доказательство:

Пусть точка \(X\) — середина отрезка \(KM\) , точка \(Y\) — середина отрезка \(PT\) . Тогда для произвольной точки \(O\) имеем:

  1. \(\overrightarrow{OX}=\frac{1}{2} \cdot (\overrightarrow{OK}\) [ \(\*\) | \(:\) | \(+\) | \(-\) ] \(\overrightarrow{OM})\)
    и
  2. \(\overrightarrow{OY}=\) [ \(\frac{1}{3}\) | \(2\) | \(\frac{1}{2}\) ] \(\cdot (\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OT})\) .

По условию задачи точки \(K \) и \(M\) — середины отрезков \(AB \) и [ \(AC\) | \(BD\) | \(DC\) | \(KM\) ], следовательно, \(\overrightarrow{OK}=\) [ \(\frac{1}{3}\) | \(-\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) ] \(\cdot (\overrightarrow{OA}+\) [ \(\overrightarrow{BO}\) | \((-\overrightarrow{OB})\) | \(\overrightarrow{OB}\) ] \(), \space \overrightarrow{OM}=\) [ \(\frac{1}{4}\) | \(-\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) ] \(\cdot (\overrightarrow{OC}+\) [ \(\overrightarrow{DO}\) | \((-\overrightarrow{DO})\) | \(\overrightarrow{OD}\) ] \()\) .

Аналогично \(\overrightarrow{OP}=\) [ \(-\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{5}\) ]. \((\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC})\) и \(\overrightarrow{OT} =\) [ \(\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})\) | \(\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD})\) | \(\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA})\) ].

Подставляя найденные выражения в формулы \((1)\) и \((2)\) , получим:

\(\overrightarrow{OX} = \dfrac{1}{2} (\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})+\) [ \(-\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(2\) ] \((\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})) = \dfrac{1}{4}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\) [ \(\overrightarrow{DO}\) | \(\overrightarrow{OD}\) | \((-\overrightarrow{OD})\) ] \(),\)

\(\overrightarrow{OY}=\) [ \(\frac{1}{2}(\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD})\) | \(\frac{1}{2}(\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD})\) | \(\frac{1}{2}(\frac{1}{2}(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD})\) ] \(=\) [ \(\frac{1}{4}(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{DO}\) | \(\frac{1}{4}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\) | \(\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD} \) ].

Отсюда следует, что \(\overrightarrow{OX} = \overrightarrow{OY}\) . Так как от точки \(O\) можно отложить только [нулевой|один|коллинеарный], вектор, равный данному, то точки \(X\) и [ \(O\) | \(Y\) | \(A\) ] совпадают, следовательно, совпадают середины отрезков [ \(KM\) и \(AB\) | \(KM\) и \(PT\) | \(OC\) и \(PT\) ], что и требовалось доказать.

Тот же тест