На основе упражнения 134 (стр. 62).

Докажите, что середины отрезков совпадают

Точки \(K\) и \(M\) — середины сторон \(AB\) и \(CD\) четырёхугольника \(ABCD\) , изображённого на рисунке, точки \(P\) и \(T\) — середины диагоналей \(AC\) и \(BD\) . Докажите, что середины отрезков \(KM\) и \(PT\) совпадают.

Доказательство:

Пусть точка \(X\) — середина отрезка \(KM\) , точка \(Y\) — середина отрезка \(PT\) . Тогда для произвольной точки \(O\) имеем:

1. \(\overrightarrow{OX}=\frac{1}{2} \cdot (\overrightarrow{OK}\) [ \(\*\) | \(:\) | \(+\) | \(-\) ] \(\overrightarrow{OM})\)
   и
2. \(\overrightarrow{OY}=\) [ \(\frac{1}{3}\) | \(2\) | \(\frac{1}{2}\) ] \(\cdot (\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OT})\) .

По условию задачи точки \(K \) и \(M\) — середины отрезков \(AB \) и [ \(AC\) | \(BD\) | \(DC\) | \(KM\) ], следовательно, \(\overrightarrow{OK}=\) [ \(\frac{1}{3}\) | \(-\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) ] \(\cdot (\overrightarrow{OA}+\) [ \(\overrightarrow{BO}\) | \((-\overrightarrow{OB})\) | \(\overrightarrow{OB}\) ] \(), \space \overrightarrow{OM}=\) [ \(\frac{1}{4}\) | \(-\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) ] \(\cdot (\overrightarrow{OC}+\) [ \(\overrightarrow{DO}\) | \((-\overrightarrow{DO})\) | \(\overrightarrow{OD}\) ] \()\) .

Аналогично \(\overrightarrow{OP}=\) [ \(-\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{5}\) ]. \((\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC})\) и \(\overrightarrow{OT} =\) [ \(\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})\) | \(\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD})\) | \(\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA})\) ].

Подставляя найденные выражения в формулы \((1)\) и \((2)\) , получим:

\(\overrightarrow{OX} = \dfrac{1}{2} (\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})+\) [ \(-\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(2\) ] \((\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})) = \dfrac{1}{4}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\) [ \(\overrightarrow{DO}\) | \(\overrightarrow{OD}\) | \((-\overrightarrow{OD})\) ] \(),\)

\(\overrightarrow{OY}=\) [ \(\frac{1}{2}(\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD})\) | \(\frac{1}{2}(\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD})\) | \(\frac{1}{2}(\frac{1}{2}(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD})\) ] \(=\) [ \(\frac{1}{4}(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{DO}\) | \(\frac{1}{4}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\) | \(\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD} \) ].

Отсюда следует, что \(\overrightarrow{OX} = \overrightarrow{OY}\) . Так как от точки \(O\) можно отложить только [нулевой|один|коллинеарный], вектор, равный данному, то точки \(X\) и [ \(O\) | \(Y\) | \(A\) ] совпадают, следовательно, совпадают середины отрезков [ \(KM\) и \(AB\) | \(KM\) и \(PT\) | \(OC\) и \(PT\) ], что и требовалось доказать.