Заполни пропуски в решении
Задача.
Реши уравнение: \(3\sqrt{2}\cos^2x+5\sin(\pi-x)=-\sqrt{2}\) .
Найди все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку: \([17\pi;\dfrac{37\pi}{2}]\) .
Решение.
Упростим \(\sin(\pi-x)=\) [ \(\cos x\) | \(\sin x\) | \(\cos^2x\) ].
Заменим \(\cos^2x\) на[ \(\sin^2x-1\) | \(1-\sin^2x\) | \(\cos^2x-1\) ].
Тогда исходное уравнение будет представлено таким образом:
\(3\sqrt{2}\*\) [ \((\sin^2x-1)\) | \((1-\sin^2x)\) | \((\cos^2x-1)\) ] \(+5\) [ \(\cos x\) | \(\sin x\) | \(\cos^2x\) ] \(=-\sqrt{2}\) .
Перенесём константу в левую часть и раскроем скобки.
\(3\sqrt{2}-3\sqrt{2}sin^2x+5\sinx+\sqrt{2}=0\) .
Приведем подобные члены и решим уравнение методом замены переменной \(\sin x=t\) .
\(-3\sqrt{2}t^2+\) [ ] \(t+\) [ ] \(\sqrt{2}=0\) .
Решаем уравнение, делаем обратную замену, получаем два уравнения:
\(\sin x=\dfrac{8\sqrt{2}}{6}\) ,
\(\sin x=\) [ ].
Первое уравнение [имеет|не имеет]решений в \(\R\) . Второе уравнение имеет такие решения:
Второе уравнение имеет такие решения:
- \(\left[ \begin{aligned} x\_1=-\cfrac{\pi}{4}+2k\pi \\ x\_2=\cfrac{5\pi}{4}+2k\pi \end{aligned}\right. ,k\in\Z\)
- \(\left[ \begin{aligned} x\_1=\cfrac{\pi}{4}+2k\pi \\ x\_2=\cfrac{3\pi}{4}+2k\pi \end{aligned}\right. ,k\in\Z\)
- \(\left[ \begin{aligned} x\_1=\cfrac{\pi}{4}+2k\pi \\ x\_2=\cfrac{5\pi}{4}+2k\pi \end{aligned}\right. ,k\in\Z\)
Решим вторую часть задания с помощью неравенств.
\(17\pi \le -\dfrac{\pi}{4}+2k\pi\le \dfrac{37\pi}{2} ,k\in\Z\)
Умножим неравенство на 4, разделим на \(\pi\) и прибавим \(1\) каждой части неравенства:
\(\) [ ] \(\le8k\le\) [ ] \(,k\in\Z\) .
Получаем, что \(k=\) [ ]. Подставляем найденное значение \(k\) в выражение \(-\dfrac{\pi}{4}+2k\pi\) и находим искомый корень:
\(x=\) [ ].
Теперь решим неравенство со второй серией точек \(\cfrac{5\pi}{4}+2k\pi\) , \(k\in\Z\) .
\(17\pi \le \dfrac{5\pi}{4}+2k\pi\le \dfrac{37\pi}{2} ,k\in\Z\) .
Получаем, что \(k=\) [ ], соответствующее ему \(x=\) [ ].