Разбери решение задачи

1. Найди наименьшее натуральное число \(n\) такое, что числа \(n^2\) и \((n+23)^2\) имеют одинаковые остатки при делении на \(91\) .
2. Существует ли такое натуральное число \(n\) , что числа \(n^2\) и \((n+23)^2\) имеют одинаковые остатки при делении на \(92\) ?
3. Определи, сколько существует двузначных чисел \(m\) , для каждого из которых существует ровно \(40\) трехзначных значений \(n\) таких, что числа \(n^2\) и \((n+m)^2\) имеют одинаковые остатки при делении на \(92\) .

Решение.

Если \(n^2\) и \((n+23)^2\) имеют одинаковые остатки при делении на \(91\) , то разность \((n+23)^2-n^2\) делится на \(91\) .

\((n+23)^2-n^2=46n+23^2=23(2n+23)\)

Так как \(23\) не кратно \(91\) и \(91\) не кратно \(23\) , кроме того число \(23\) простое, то \(2n+23\) кратно \(91\) . Наименьшее такое число \(2n+23\) будет \(91\) .

\(2n+23=91\) , если \(n=\) [ ].

Первый пункт задачи решён. Проведём доказательство для второго пункта.

Допустим, что существует такое натуральное число \(n\) , что числа \(n^2\) и \((n+23)^2\) имеют одинаковые остатки при делении на \(92\) .

Тогда разность \((n+23)^2-n^2=23(2n+23)\) делится на \(92\) , что невозможно, так как число \(23(2n+23)\) нечётное, а число \(92\) [чётное|нечётное].

Получили противоречие. Второй пункт задачи также решён. Решим третий пункт задачи.

Если числа \(n^2\) и \((n+m)^2\) имеют одинаковые остатки при делении на \(92\) , то разность \((n+m)^2-n^2=2mn+m^2=m(2n+m)\) делится на \(92\) .

Заметим, что \(m\) не может быть нечётным. Так как тогда число \(m(2n+m)\) также нечётное, и в этом случае оно не делится на \(92\) .

Итак, \(m\) — чётное, обозначим \(m=2p\) .

Заметим, что так как \(m\) двузначное, то \(p\) может принимать значения равные \(5; 6;\dots;49\) .

Подставим в разность \((n+m)^2-n^2=m(2n+m)\) \(m=2p\) :

\(m(2n+m)=4p(n+p)\)

Так как \(\cfrac{4p(n+p)}{92}=\cfrac{p(n+p)}{23}\) , то \(p(n+p)\) делится на \(23\) . Заметим также, что по значению \(p\) мы сможем однозначно найти \(m=2p\) .

Если \(p\) кратно \(23\) , то такие \(p\) нам не подходят, так как им соответствуют \(900\) значений \(n\) (то есть все трехзначные числа).

Если \(p\) не кратно \(23\) , то \(n+p\) должно быть кратно 23. Проведём исследование, какие \(n\) для каждого \(p\) подходят.

Если \(p=5\) , то \(n\) может быть равно \(110; 133;\dots;984\) , всего \(39\) значений \(n\) . Мы выбрали те \(n\) , которые при делении на \(23\) дают остаток \(18\) , тогда \(n+p\) будет кратно \(23\) .

Аналогично, если \(p=6\) , то \(n\) может быть равно \(109; 132;\dots; 983\) , всего \(39\) значений \(n\) .

И так далее. Всего для числа \(23\) возможны \(22\) остатка, включая ноль. Достаточно рассмотреть \(p\) от \(5\) до \(27\) , остальные будут иметь такие же остатки от деления на \(23\) .

Если \(p=13\) , то \(n\) может быть равно \(102; 125;\dots;976; 999\) всего \(40\) значений \(n\) . Мы нашли первое значение \(p\) . Подойдёт также значение \(p=13+23=36\) (вспомним, что \(p\) не может быть больше \(49\) ). Число \(36\) имеет тот же остаток от деления на \(23\) , что и \(13\) , и ему будут соответствовать те же значения \(n\) .

Если \(p=13\) , то \(m=2p=26\) и ему соответствуют \(40\) трёхзначных чисел \(n\) .

Если \(p=36\) , то \(m=2p=72\) и ему также соответствуют \(40\) трёхзначных чисел \(n\) .

Остальные значения \(p\) и соответствующие им знамения \(m\) найди самостоятельно. В ответ запиши общее количество чисел \(m\) .
Запиши и выбери ответы.

Ответ:

1. \(n=\) [ ].
2. [не существует|существует].
3. Таких чисел [ ].