Выполни задание и заполни пропуски

Реши графически уравнение \(\Big(\dfrac{2}{8}\Big)^x=x-\dfrac{3}{4}\) .

Построим графики функций в одной системе координат \(y=\Big(\dfrac{1}{4}\Big)^x\) , \(y=x-\dfrac{3}{4}\) Анализируя рисунок, можем заметить, что графики этих функций пересекаются в одной точке, причем координата по абсциссе \(x\approx1\) .

Тогда проверим, что \(x=\) [ ] – может быть коренем данного уравнения: \(\Big(\dfrac{1}{4}\Big)^1=1-\dfrac{3}{4} \iff \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}\) .

Покажем, что других корней нет. Функция \(y=\Big(\dfrac{1}{4}\Big)^x\) [убывающая|возрастающая], а функция \(y=x-\dfrac{3}{4}\) [убывающая|возрастающая].

Тогда при значениях \(x\) [ \(\gt\) | \(\lt\) | \(=\) ] \(1\) первая функция будет меньше \(\dfrac{1}{4}\) , а вторая больше \(\dfrac{1}{4}\) ; при значениях \(x\) [ \(\lt\) | \(\gt\) | \(=\) ] \(1\) , наоборот, первая функция больше \(\dfrac{1}{4}\) , а вторая меньше \(\dfrac{1}{4}\) .

Геометрически это означает, что графики этих функций при \(x\) [ \(\gt\) | \(\lt\) | \(=\) ] \(1\) , и при \(x\) [ \(\lt\) | \(\gt\) | \(=\) ] \(1\) , «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при \(x\ne1\) .

Ответ: [ ].

Заметим, что из решения этой задачи, в частности следует, что неравенство \(\Big(\dfrac{2}{8}\Big)^x\gt x-\dfrac{3}{4}\) выполняется при \(x\) [ \(\lt\) | \(\gt\) | \(=\) ] \(1\) , а неравенство \(\Big(\dfrac{2}{8}\Big)^x\lt x-\dfrac{3}{4}\) выполняется при \(x\) [ \(\gt\) | \(\lt\) | \(=\) ] \(1\) .