В треугольнике NPM медианы NN_1, PP_1, MM_1 пересекаются в точке O, причём, сторона NM в 3 раза больше PO. Докажи, что \sin \angle NPM=1 . Найди NN_1^2+MM_1^2, если NM=1,6. Если в ответе — дробное число, введи в десятичном виде. Доказательство. Медианы делятся точкой пересечения 2:1.Значит, PO=2OP_1. И PP_1=3PO=0,5NM. Тогда треугольники NPP_1, P_1PM — равнобедренные. Поэтому \angle PNP_1=\angle P_1PN, \angle PMP_1=\angle P_1PM. \angle PNP_1+\angle P_1PN+\angle PMP_1+\angle P_1PM=180^\circ. Значит,\angle NPM= \angle P_1PN+\angle P_1PM=90^\circ. \sin 90^\circ=\sin \angle NPM= . Решение. Из прямоугольного треугольника NPN_1: NN_1^2=NP^2+PN_1^2=NP^2+\dfrac{1}{4}PM^2. Из прямоугольного треугольника MPM_1: MM_1^2=MP^2+PM_1^2=MP^2+\dfrac{1}{4}PN^2. Тогда, NN_1^2+MM_1^2=\dfrac{5}{4}(MP^2+PN^2)=\dfrac{5}{4}\cdot1,6^2= . Ответ: .

Задание

Реши задачу

В треугольнике \(NPM\) медианы \(NN\_1\) , \(PP\_1\) , \(MM\_1\) пересекаются в точке \(O\) , причём, сторона \(NM\) в \(3\) раза больше \(PO\) .

Если в ответе — дробное число, введи в десятичном виде.

Доказательство.
Медианы делятся точкой пересечения \(2:1\) .Значит, \(PO=2OP\_1\) . И \(PP\_1=3PO=0,5NM\) . Тогда треугольники \(NPP\_1\) , \(P\_1PM\) — равнобедренные. Поэтому \(\angle PNP\_1=\angle P\_1PN\) , \(\angle PMP\_1=\angle P\_1PM\) . \(\angle PNP\_1+\angle P\_1PN+\angle PMP\_1+\angle P\_1PM=180^\circ\) . Значит, \(\angle NPM= \angle P\_1PN+\angle P\_1PM=90^\circ\) . \(\sin 90^\circ=\sin \angle NPM=\) [ ]
.
Решение. Из прямоугольного треугольника \(NPN\_1\) : \(NN\_1^2=NP^2+PN\_1^2=NP^2+\dfrac{1}{4}PM^2\) . Из прямоугольного треугольника \(MPM\_1\) : \(MM\_1^2=MP^2+PM\_1^2=MP^2+\dfrac{1}{4}PN^2\) . Тогда, \(NN\_1^2+MM\_1^2=\dfrac{5}{4}(MP^2+PN^2)=\dfrac{5}{4}\cdot1,6^2=\) [ ]
.

Ответ: [ ].