Реши задачу

В прямоугольном параллелепипеде \(ABCDA\_1B\_1C\_1D\_1\) в треугольнике \(AA\_1D\_1\) проведена высота \(A\_1H\) .

1. Докажи, что \(A\_1H\) , \(BH\) и \(BA\_1\) образуют соответственно перпендикуляр, проекцию на плоскость \(ABD\_1\) и наклонную.
2. Найди синус угла между плоскостью \(ABD\_1\) и \(BA\_1\) , если \(AB=8\) , \(BC=CC\_1=4\) .

Если результатом является дробное число, введи его десятичную запись. Если в ответе присутствует корень, вынеси из под корня максимально возможный множитель.

Решение.

1. Рассмотри треугольник \(A\_1HB\) . Данный треугольник — [прямоугольный|правильный]. В таком треугольнике наклонной является [гипотенуза|катет]. Две другие стороны являются перпендикуляром и проекцией. При этом \(BH\in ABD\_1\) . Следовательно, \(A\_1H\) , \(BH\) и \(BA\_1\) образуют соответственно перпендикуляр, проекцию на плоскость \(ABD\_1\) и наклонную.
2. В треугольнике \(A\_1HB\) сторона \(A\_1H\) является половиной диагонали грани параллелепипеда \(AA\_1D\_1D\) . Найдём её \(A\_1H^2=\dfrac{1}{2}(4^2+4^2)\) , тогда \(A\_1H=\) [ ]. Гипотенузу \(BA\_1\) можно вычислить, как диагональ грани \(AA\_1B\_1B\) . \(BA\_1^2=8^2+6^2\) , тогда \(BA\_1=\) [ ]. \(\sin \angle A\_1BH=\dfrac{A\_1H}{BA\_1}=\) [ ].

Ответ:[ ].