Задание

В правильной четырёхугольной призме \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) сторона основания \(AB\) равна \(8\), боковое ребро \(AA_1\) равно \(4\sqrt2\). На рёбрах \(BC\) и \(C_1D_1\) отмечены точки \(P\) и \(Q\) так, что \(BP:PC=C_1Q:QD_1=1:3\). Через точки \(P\) и \(Q\) параллельно прямой \(BD\) проходит плоскость \(\alpha\). В вершину \(A\) поместили прямоугольную систему координат так, что оси \(x\), \(y\) и \(z\) совпали с ребрами \(AB\), \(AD\) и \(AA_1\) соответственно.

Найдите уравнение плоскости \(\alpha\) и вычислите синус угла между прямой \(A_1C\) и \(\alpha\). В ответ запишите градусную меру угла.

Найдите расстояние от точки \(B\) до плоскости \(\alpha\). Полученное значение умножьте на \(\sqrt{10}\) и запишите в ответ.

Вычислите тангенс угла между плоскостями \(\alpha\) и \(ABC\).