Задание

В основании прямой треугольной призмы \(ABCA_1B_1C_1\) лежит прямоугольный треугольник \(ABC\) с прямым углом \(C\), \(A_1C_1=4\), \(AA_1=4\sqrt2\), \(BC=16\). На рёбрах \(C_1B_1\) и \(B_1A_1\) отмечены точки \(P\) и \(Q\) так, что \(A_1Q=QB_1\), \(C_1P:PB_1=1:2\). Через точки \(A\), \(P\) и \(Q\) проходит плоскость \(\alpha\), пересекающая ребро \(CC_1\) в точке \(M\). В вершину \(C\) поместили прямоугольную систему координат так, что оси \(x\), \(y\) и \(z\) совпали с ребрами \(CB\), \(CA\) и \(CC_1\) соответственно.

Найдите уравнение плоскости \(\alpha\) и вычислите синус угла между прямой \(BA_1\) и \(\alpha\). Полученное значение умножьте на \(19\sqrt 3\) и запишите в ответ.

Найдите расстояние от точки \(A_1\) до плоскости \(\alpha\). Полученное значение умножьте на \(\sqrt{57}\) и запишите в ответ.

Вычислите координаты \((x_0;y_0;z_0)\) точки \(M\). В ответ запишите \(\dfrac{4\sqrt{2}}{z_{0}}\).