Соотнеси выражения с пропусками в тексте
Если функция \(y=f(x)\) определена и строго монотонна на промежутке \(J\) и имеет область изменения — промежуток \(J\_1\) , то она имеет обратную функцию \(\varphi(x)\) с областью определения \(J\_1\) и областью изменения \(J\) .
Пример. Найдём функцию \(y=\varphi(x)\) , обратную к данной функции \(y=f(x)\) , если:
а) \(y=4x-2\) , \(x \in [-1; -2]\) ;
б) \(y=\dfrac{5}{x-1}+4\) , \(x \in (1; +\infin)\) ;
в) \(y=(x-3)^2+2\) , \(x \in [3; +\infin)\) ;
г) \(y=1+\sqrt{x+2}\) , \(x \in [-2; +\infin)\) ;
д) \(y=5^{x+2}\) ;
е) \(y=log\_2(x-3)\) .
Решение.
Все функции, рассматриваемые в этом примере, определены и строго монотонны на данных промежутках, поэтому все они имеют обратные функции. Найдём их.
- \(y=4x-2\)
- \(x\in[-6;6]\)
- \(y=4x-2\)
а) Область определения функции — отрезок \([-1; 2]\) , область изменения — отрезок \([-6; 6]\) . Выразив \(x\) из формулы \(y=4x-2\) для \(x \in [-1; 2]\) , получим, что
\(x=\dfrac{y+2}{4}\) , где \(y \in [-6; 6]\) , \(x \in [-1; 2]\) . (1)
Формула (1) задаёт функцию \(x=\varphi(y)\) , обратную к функции [ ], \(х \in [-1; 2]\) . Заменим в формуле (1) \(x\) на \(y\) и \(y\) на \(x\) , получим функцию \(y = \varphi(х)\) :
\(y=\dfrac{x+2}{4}\) , где [ ],
обратную к функции [ ], \(x \in [-1; 2]\) .
- \(x=\dfrac{5}{y-4}+1\)
- \(y=\dfrac{5}{x-1}+4\)
- \(x \in (4; +\infin)\)
б) Область определения функции — промежуток \((1; +\infin)\) , область изменения — промежуток \((4; +\infin)\) . Выразив \(x\) из формулы \(y=\dfrac{5}{x-1}+4\) для \(x \in (1; +\infin)\) , получим, что
[ ], где \(y \in (4; +\infin)\) , \(x \in (1; +\infin)\) . (2)
Формула (2) задаёт функцию \(x=\varphi(y)\) , обратную к функции [ ], \(x \in (1; +\infin)\) . Заменим в формуле (2) \(x\) на \(y\) и \(y\) на \(x\) , получим функцию \(y=\varphi(x)\) :
\(y=\dfrac{5}{x-4}+1\) , где [ ],
обратную к функции \(y=\dfrac{5}{x-1}+4\) , \(x \in (1; +\infin)\) .
- \(y \in [2; +\infin)\)
- \(x \in [3; +\infin)\)
- \(y=(x-3)^2+2\)
в) Область определения функции — промежуток \([3; +\infin)\) , область изменения — промежуток \([2; +\infin)\) . Выразив \(х\) из формулы \(y=(x-3)^2+2\) для \(x \in [3; +\infin)\) , получим, что
\(x=\sqrt{y-2}+3\) , где [ ], \(x \in [3; +\infin)\) . (3)
Формула (3) задаёт функцию \(x=\varphi(y)\) , обратную к функции \(y=(x-3)^2+2\) , [ ]. Заменим в формуле (3) \(x\) на \(y\) и \(y\) на \(x\) , получим функцию \(y=\varphi(x)\) :
\(y=\sqrt{x-2}+3\) , где \(x \in [2; +\infin)\) ,
обратную к функции [ ], \(x \in [3; +\infin)\) .
- \(x=(y-1)^2-2\)
- \(y=1+\sqrt{x+2}\)
- \(y=(x-1)^2-2\)
г) Область определения функции — промежуток \([-2; +\infin)\) , область изменения — промежуток \([1; +\infin)\) . Выразив \(х\) из формулы \(y=1+\sqrt{x+2}\) для \(x \geqslant -2\) , получим, что
[ ], где \(y \in [1; +\infin)\) , \(x \in [-2; +\infin)\) . (4)
Формула (4) задаёт функцию \(x=\varphi(y)\) , обратную к функции [ ], \(x \in [-2; +\infin)\) . Заменим в формуле (4) \(x\) на \(y\) и \(y\) на \(x\) , получим функцию \(y=\varphi(x)\) :
[ ], где \(x \in [1; +\infin)\) ,
обратную к функции \(y=1+\sqrt{x+2}\) , \(x \in [-2; +\infin)\) .
- \(x=\varphi(y)\)
- \(x\)
- \(x \in (0; +\infin)\)
д) Область определения функции — R, область изменения — промежуток \((0; +\infin)\) . Выразив \(х\) из формулы \(y=5^{x+2}\) , получим, что
\(x=\log\_5y-2\) , где \(y \in (0; +\infin)\) , \(x \in\) R. (5)
Формула (5) задаёт функцию [ ], обратную к функции \(y=5^{x+2}\) , \(x \in\) R. Заменим в формуле (5) [ ] на \(y\) и \(y\) на \(x\) , получим функцию \(y=\varphi(x)\) :
\(y=\log\_5x-2\) , где [ ],
обратную к функции \(y=5^{x+2}\) .
- \(x=2^y+3\)
- \(x=\varphi(y)\)
- \(x \in\) R
е) Область определения функции — промежуток \((3; +\infin)\) , область изменения — R. Выразив \(х\) из формулы \(y=\log\_2(x-3)\) для \(x \gt 3\) , получим, что
[ ], где \(y \in\) R, \(x \in (3; +\infin)\) . (6)
Формула (6) задаёт функцию [ ], обратную к функции \(y=\log\_2(x-3)\) , \(x \in (3; +\infin)\) . Заменим в формуле (6) \(x\) на \(y\) и \(y\) на \(x\) , получим функцию \(y=\varphi(x)\) :
\(y=2^x+3\) , где [ ],
обратную к функции \(y=\log\_2(x-3)\) , \(x \in (3; +\infin)\) .