Ознакомься с примером решения

Вычислим приближённое значение \(f(x\_0+\Delta x)\) функции:

а) \(f(x)=x^8\) , если \(x\_0=1\) , \(\Delta x=0,01\) ;

б) \(f(x)=\sqrt{x}\) , если \(x\_0=81\) , \(\Delta x=-0,06\) .

Решение. Приближённое значение функции \(f(x\_0)\) будем вычислять по формуле

\(f(x\_0+\Delta x)\approx f(x\_0)+f'(x\_0)\Delta x\) .

а) Производная функции \(f(x)\) существует для любого \(x\in \R \) . Найдём её: \(f'(x)=8x^7\) .

По формуле имеем:

\(f(1+0,01)\approx f(1)+f'(1)\cdot 0,01=1^8+8\cdot 1^7\cdot 0,01=1,08\) .

б) Производная функции \(f(x)\) существует для любого \(x\gt 0\) . Найдём её: \(f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) . По формуле имеем:

\(f(81-0,06)\approx f(81)+f'(81)(-0,06)=\sqrt{81}+\dfrac{1}{2\sqrt{81}}\cdot (-0,06)\approx 8,997\) .

Ответ: а) \(1,08\) ; б) \(8,997\) .