Ознакомься с примером решения

Дана функция \(f (x)=x^2-3\sqrt[3]{x^2}\) .

Найдём:

а) критические точки функции \(f(x)\) на отрезке \([-1;8]\) ;

б) наибольшее и наименьшее значения функции \(f(x)\) на отрезке \([-1;8]\) .

Решение.

а) Производная функции \(f(x)\) существует для любого \(x\ne 0\) . Следовательно, она существует в любой точке отрезка \([-1;8]\) , кроме точки \(x=0\) . Поэтому \(x=0\) — критическая точка функции \(f(x)\) на отрезке \([-1;8]\) .

Для любого \(x\ne 0\) найдём производную функции \(f(x):\)

\(f'(x)=2x-\dfrac{2}{\sqrt[3]{x}}\) .

Найдём точки, в которых \(f'(x)=0\) . Для этого решим уравнение \(2x-\dfrac{2}{\sqrt[3]{x}}=0\) .

Уравнение имеет два корня: \(1\) и \(-1\) . Из этих чисел только число \(1\) является внутренней точкой отрезка \([-1; 8]\) . Поэтому \(x=1\) — ещё одна критическая точка функции \(f(x)\) на отрезке \([-1;8]\) .

Итак, функция \(f(x)\) на отрезке \([-1;8]\) имеет две критические точки: \(x=0\) и \(x=1\) .

б) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке вычислим её значения на концах отрезка и в каждой критической точке:

\(f(-1)=(-1)^2-3\sqrt[3]{(-1)^2}=-2\) ;

\(f(0)=0^2-3\sqrt[3]{0^2}=0\) ;

\(f(1)=1^2-3\sqrt[3]{1^2}=-2\) ;

\(f(8)=8^2-3\sqrt[3]{8^2}=52\) .

Итак, \(\max \limits\_{[-1;8]} f(x)=52\) , \(\min \limits\_{[-1;8]} f(x)=-2\) .

Ответ: а) \(x=0\) и \(x=1\) ; б) \(\max \limits\_{[-1;8]} f(x)=52\) , \(\min \limits\_{[-1;8]} f(x)=-2\) .