Выполни задание

Реши уравнение \(2\tg \dfrac{x}{3}-\ctg \dfrac{x}{3}=1\) методом замены \(t=\tg x\) .

Решение.

\(\ctg x=\dfrac{1}{\tg x}\) , тогда:

\(2\tg \dfrac{x}{3}-\dfrac{1}{\tg \dfrac{x}{3}}=1\) .

Выполним замену \(t=\tg \dfrac{x}{3}\) и запишем получившееся уравнение:

[ ],

ОДЗ: [ ].

Выполним преобразования и запишем квадратное уравнение:

[ ] \(t^2- \, t \, - \, \) [ ] \(=0\) .

Реши квадратное уравнение и запиши корни:

\(t\_1=1\) , \(t\_2=\) [ ].

С учётом замены:

\(\tg \dfrac{x\_1}{3}=1\) , \(\dfrac{x\_1}{3}=\arctg 1+\pi k\) , \(k\in \Z\) , \(\dfrac{x\_1}{3}=\dfrac{\pi}{4}+\pi k\) , \(k\in \Z\) ;

\(\tg \dfrac{x\_2}{3}=-\dfrac{1}{2}\) , \(\dfrac{x\_2}{3}=\) [ ], \(n\in \Z\) .

Выбери правильные варианты ответа.

• \(\cfrac{3\pi}{4}+3\pi n\) , \(n\in \Z\)
• \(\cfrac{2\pi}{4}+3\pi m\) , \(m\in \Z\)
• \(-3\arctg 0,5+3\pi k\) , \(k\in \Z\)
• \(\cfrac{5\pi}{4}+3\pi l\) , \(l\in \Z\)