Ещё один метод решения неоднородных уравнений заключается во введении вспомогательного угла: обе части уравнения делятся на \sqrt{a^2+b^2}. Реши уравнение a\sin x+b\cos x=c. Решение. \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x+\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x=\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}. Уравнение можно записать в виде: \sin x\cos \phi +\cos x\sin \phi =\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}. И тогда тригонометрическое уравнение будет приведено к простейшему виду: \sin (x+\phi )=\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}. Проверь себя! Приведи уравнение \sqrt{2}\sin (2x)+\sqrt{2}\cos (2x)=1 к простейшему виду. Решение. a= ; b= . Тогда разделим обе части уравнения на \sqrt{2+2}= : \dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin (2x)+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos (2x)=\dfrac{1}{2}, \cos \dfrac{\pi}{4}\sin (2x)+\sin \dfrac{\pi}{4}\cos (2x)=\dfrac{1}{2}. Запиши ответ в виде \sin (ax+\dfrac{b\pi}{c})=\dfrac{m}{n}. Ответ: .

Задание

Заполни пропуски

Ещё один метод решения неоднородных уравнений заключается во введении вспомогательного угла: обе части уравнения делятся на \(\sqrt{a^2+b^2}\) .

Реши уравнение \(a\sin x+b\cos x=c\) .

Решение.

\(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x+\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x=\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\) .

Уравнение можно записать в виде:

\(\sin x\cos \phi +\cos x\sin \phi =\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\) .

И тогда тригонометрическое уравнение будет приведено к простейшему виду:

\(\sin (x+\phi )=\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} \) .

Проверь себя!

Приведи уравнение \(\sqrt{2}\sin (2x)+\sqrt{2}\cos (2x)=1\) к простейшему виду.

Решение.

\(a=\) [ ]; \(b=\) [ ].

Тогда разделим обе части уравнения на \(\sqrt{2+2}=\) [ ]:

\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin (2x)+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos (2x)=\dfrac{1}{2}\) ,

\(\cos \dfrac{\pi}{4}\sin (2x)+\sin \dfrac{\pi}{4}\cos (2x)=\dfrac{1}{2}\) .

Запиши ответ в виде \(\sin (ax+\dfrac{b\pi}{c})=\dfrac{m}{n}\) .

Ответ: [ ].