Выполни задание

Реши системы уравнений.

\(\begin{cases} x^2+xy=-1, | \cdot 5 \\ x^2+y^2=6. | \cdot 1\end{cases}\)

Чтобы получить в правой части уравнения \(0\) , сложим первое уравнение, умноженное на \(5\) , и второе уравнение. Получим

\(\begin{cases} x^2+xy=-1, \\ 6x^2+5xy+y^2=0.\end{cases}\)

Разложив на множители левую часть второго уравнения системы, перепишем её в виде

\(\begin{cases} x^2+xy=-1, \\ (2x+y)(3x+y)=0.\end{cases}\)

Все решения последней системы, а значит, и первой являются решениями хотя бы одной из систем:

\(\begin{cases} 2x+y=0, \\ x^2+xy=-1\end{cases}\) и \(\begin{cases} 3x+y=0, \\ x^2+xy=-1.\end{cases}\)

Объединив все решения этих систем, найдём все решения первой системы: \((1;-2)\) , \((-1;2)\) , \(\left( \dfrac{\sqrt{2}}{2};\dfrac{-3\sqrt{2}}{2}\right) \) , \(\left( \dfrac{-\sqrt{2}}{2};\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right) \) .

Ответ: \((1;-2)\) , \((-1;2)\) , \(\left( \dfrac{\sqrt{2}}{2};\dfrac{-3\sqrt{2}}{2}\right) \) , \(\left( \dfrac{-\sqrt{2}}{2};\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right) \) .

а) \(\begin{cases} x^2-2xy=-4, \\ x^2+y^2=8;\end{cases}\)

б) \(\begin{cases} x^2+2xy=3, \\ x^2+y^2=2;\end{cases}\)

в) \(\begin{cases} x^2-xy=3, \\ x^2+y^2=5.\end{cases}\)