Заполни пропуски

Пример \(5\) .

\(a\) , \(b\) — неотрицательные числа. Доказать, что

\(\dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}\) .

Доказательство.

Рассмотрим разность \(\dfrac{a+b}{2}- \sqrt{ab}=\dfrac{a-2 \sqrt{ab}+b}{2}=\dfrac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{2}\) .

Дробь \(\dfrac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{2}\) — [неотрицательна|положительна].

Значит, \(\dfrac{a+b}{2}\) [ \(\ge\) | \(\gt\) ] \(\sqrt{ab}\) .

При этом \(\dfrac{a+b}{2}=\sqrt{ab}\) при \(a=\) [ ].

Запомни!

\(\dfrac{a+b}{2}\) — среднее арифметическое чисел \(a\) и \(b\) .

\(\sqrt{ab}\) — среднее геометрическое чисел \(a\) и \(b\) .