Основанонаупр.2, стр.31

Заполнипропуски

Найдипроизводнуюфункции \(f(x)=x\sqrt x\) .

Решение.Пусть \(x\gt0\) (впротивномслучаепредел \(\lim\limits\_{h\rarr0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\) несуществует).Выберем \(h\) так, чтобывыполнялось[ ] \(|h|\ltx\) , составимразностноеотношениеинайдёмего[ ] :

\(\lim\limits\_{h\rarr0}\dfrac{(x+h)\sqrt{x+h} - x\sqrtx}{h}=\lim\limits\_{h\rarr0}\dfrac{((x+h)\sqrt{x+h} - x\sqrtx)((x+h)\sqrt{x+h}+x\sqrtx)}{h((x+h)\sqrt{x+h}+x\sqrtx)}=\lim\limits\_{h\rarr0}\dfrac{(x+h)^3 - x^3}{h((x+h)\sqrt{x+h}+x\sqrtx)}=\lim\limits\_{h\rarr0}\dfrac{3x^2h+3xh^2+h^3}{h((x+h)\sqrt{x+h}+x\sqrtx)}=\lim\limits\_{h\rarr0}\dfrac{3x^2+3xh+h^2}{(x+h)\sqrt{x+h}+x\sqrtx}=\dfrac{3x^2}{2x\sqrtx}=\dfrac{3}{2}\sqrtx\) .