Основано на упр. 1, стр. 5
Выбери правильные ответы
Найди области определения данных функций.
- \(y=\sqrt{3\sin3x+4\cos3x}\) .
Решение. Выражение \(\sqrt{3\sin3x+4\cos3x}\) имеет смысл при всех действительных значениях \(x\) , при которых \(3\sin3x+4\cos3x\) [ ] \(0\) . Неравенство \(3\sin3x+4\cos3x\ge0\) решим, выполнив преобразование левой части с помощью метода вспомогательного угла. Умножим и разделим обе части неравенства на \(\sqrt{3^2+4^2}=5\) . Получим \(5\left(\dfrac{3}{5}\sin3x+\dfrac{4}{5}\cos3x\right)\ge\) [ ].Так как \(\left(\dfrac{3}{5}\right)^2+\left(\dfrac{4}{5}\right)^2=\) [ ], то существует угол \(\varphi\) , такой что \(\cos\varphi=\dfrac{3}{5}\) , \(\sin\varphi=\dfrac{4}{5}\) . Возьмём в качестве \(\varphi\) число \(\arccos\dfrac{3}{5}=\arccos0,6\) и решим неравенство \(5(\sin(\varphi+3x))\ge0\) .
\(\sin(\varphi+3x)\ge0\) , \(\, 2\pi n\le\varphi+3x\le\pi+2\pi n\) , \(n\in \Z\) , откуда \(\dfrac{2\pi n}{3} - \dfrac{\varphi}{3} \le x \le \dfrac{\pi(1+2n)}{3}-\dfrac{\varphi}{3}\) , \(n\in \Z\) .
Следовательно, областью определения функции являются все действительные числа из отрезков:
- \(\left[\dfrac{2\pi n}{3}-\dfrac{1}{3}\arccos0,6; \dfrac{\pi(2n+1)}{3}-\dfrac{1}{3}\arccos0,6\right]\) , \(n\in \Z.\)
- \(\left[\dfrac{\pi(2n+1)}{3}-\dfrac{1}{3}\arccos0,6; \dfrac{2\pi n}{3}-\dfrac{1}{3}\arccos0,6\right]\) , \(n\in \Z.\)
- \(y=\log\_{\cos x}\sin x\) .
Решение. По определению логарифма выражение \(\log\_{\cos x}\sin x\) существует при всех действительных значениях \(x\) , при которых \(\sin x\) [ ] \(0\) , \(\cos x\) [ ] \(0\) и \(\cos x\not = 1\) . Решим систему:
\(\begin{cases} \sin x \gt 0, \\ \cos x \gt 0, \\ \cos x \kern{0.27em}{=}\mathllap{/\,}\kern{0.27em} 1.\end{cases}\)
Решениями этой системы являются все числа из первой четверти единичной окружности:
- \(2\pi n\lt x\lt \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n\) , \(n\in \Z.\)
- \(2\pi n\lt x\lt \pi + 2\pi n\) , \(n\in \Z.\)
Совокупность этих интервалов и является областью определения функции \(y=\log\_{\cos x}\sin x\) .