Задание

Основано на упр. 1, стр. 5

Выбери правильные ответы

Найди области определения данных функций.

1) y=\sqrt{3\sin3x+4\cos3x}.

Решение. Выражение \sqrt{3\sin3x+4\cos3x} имеет смысл при всех действительных значениях x, при которых 3\sin3x+4\cos3x 0. Неравенство 3\sin3x+4\cos3x\ge0 решим, выполнив преобразование левой части с помощью метода вспомогательного угла. Умножим и разделим обе части неравенства на \sqrt{3^2+4^2}=5. Получим 5\left(\dfrac{3}{5}\sin3x+\dfrac{4}{5}\cos3x\right)\ge . Так как \left(\dfrac{3}{5}\right)^2+\left(\dfrac{4}{5}\right)^2= , то существует угол \varphi, такой что \cos\varphi=\dfrac{3}{5}, \sin\varphi=\dfrac{4}{5}. Возьмём в качестве \varphi число \arccos\dfrac{3}{5}=\arccos0,6 и решим неравенство 5(\sin(\varphi+3x))\ge0.

\sin(\varphi+3x)\ge0, \, 2\pi n\le\varphi+3x\le\pi+2\pi n, n\in \Z, откуда \dfrac{2\pi n}{3} - \dfrac{\varphi}{3} \le x \le \dfrac{\pi(1+2n)}{3}-\dfrac{\varphi}{3}, n\in \Z.

Следовательно, областью определения функции являются все действительные числа из отрезков:

\left[\dfrac{2\pi n}{3}-\dfrac{1}{3}\arccos0,6; \dfrac{\pi(2n+1)}{3}-\dfrac{1}{3}\arccos0,6\right], n\in \Z.

\left[\dfrac{\pi(2n+1)}{3}-\dfrac{1}{3}\arccos0,6; \dfrac{2\pi n}{3}-\dfrac{1}{3}\arccos0,6\right], n\in \Z.

2) y=\log_{\cos x}\sin x.

Решение. По определению логарифма выражение \log_{\cos x}\sin x существует при всех действительных значениях x, при которых \sin x 0, \cos x 0 и \cos x\not = 1. Решим систему:

\begin{cases} \sin x \gt 0, \\ \cos x \gt 0, \\ \cos x \kern{0.27em}{=}\mathllap{/\,}\kern{0.27em} 1. \end{cases}

Решениями этой системы являются все числа из первой четверти единичной окружности:

2\pi n\lt x\lt \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n, n\in \Z.

2\pi n\lt x\lt \pi + 2\pi n, n\in \Z.

Совокупность этих интервалов и является областью определения функции y=\log_{\cos x}\sin x.