Основано на упр. 73, стр. 56.
Заполни пропуски
Какие векторы с концом и началом в вершинах параллелепипеда \(ABCDA\_1B\_1C\_1D\_1\) :
а) противоположны вектору \(\overrightarrow{AC}\) ;
б) равны вектору \(\overrightarrow{-CD\_1}\) ;
в) равны разности \(\overrightarrow{AA\_1}-\overrightarrow{AC}\) ;
г) равны сумме \(\overrightarrow{BA}+(-\overrightarrow{CD\_1})\) ;
д) равны вектору \(-\overrightarrow{CD\_1}-\overrightarrow{AC}\) ?
- вектора
- равны
- противоположно
- \(A\_1C\_1\)
- \(CA\)
- \(C\_1A\_1\)
- \(\overrightarrow{CA}\)
- \(\overrightarrow{C\_1A\_1}\)
Решение:
а) Два ненулевых [ ] называются противоположными,если их длины [ ] и они [ ] направлены. В параллелепипеде \(ABCDA\_1B\_1C\_1D\_1\) \(AC=\) [ ]. Противоположно направлены по отношению к лучу \(AC\) лучи [ ] и [ ].
Следовательно, вектору \(\overrightarrow{AC}\) противоположны векторы [ ] и [ ].
- противоположный
- \(\overrightarrow{A\_1B}\)
- \(\overrightarrow{D\_1C}\)
б) Запись \(-\overrightarrow{CD\_1}\) означает вектор,[ ] вектору \(\overrightarrow{CD\_1}\) . Равными этому вектору являются векторы [ ] и [ ].
- векторов
- \(-\overrightarrow{b}\)
- вектор
- \(\overrightarrow{AC}\)
- \(\overrightarrow{AA\_1}\)
- \(\overrightarrow{x}\)
- \(\overrightarrow{AA\_1}\)
- \(\overrightarrow{СA\_1}\)
- \(\overrightarrow{СA\_1}\)
в) Разность векторов \(\overrightarrow{AA\_1}-\overrightarrow{AC}\) можно найти двумя способами:
по определению разности двух [ ];
используя формулу \(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a+}(\) [ ] \()\) .
По определению разностью векторов \(\overrightarrow{AA\_1}\) и \(\overrightarrow{AC}\) является такой [ ] \(\overrightarrow{x}\) , сумма которого с вектором[ ] равна вектору [ ], т. е. \(\overrightarrow{AC}+\) [ ] \(=\) [ ]. Значит, искомый вектор \(\overrightarrow{x}\) — это вектор [ ], т. е. \(\overrightarrow{AA\_1}-\overrightarrow{AC}=\) [ ].
- \(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b})\)
- \(\overrightarrow{AC}\)
- противоположный
- \(\overrightarrow{AC}\)
- \(\overrightarrow{CA}\)
- \(\overrightarrow{CA}\)
- \(\overrightarrow{AA\_1}\)
- \(\overrightarrow{CA\_1}\)
- используя формулу \(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a+(\) [ ] \()\) , получаем \(\overrightarrow{AA\_1}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AA\_1}+(-\) [ ] \()\) . Но вектор \(-\overrightarrow{AC}\) — это вектор, [ ] вектору [ ], т. е. вектор [ ]. Поэтому \(\overrightarrow{AA\_1}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AA\_1}+\) [ ] \(=\overrightarrow{CA}+\) [ ] \(=\) [ ].
- \(\overrightarrow{D\_1C}\)
- \(\overrightarrow{A\_1B}\)
- \(\overrightarrow{A\_1B}\)
- правилу
- \(\overrightarrow{A\_1A}\)
- \(\overrightarrow{C\_1C}\)
- \(\overrightarrow{A\_1A}\)
г) Как установлено в п. «б», \(-\overrightarrow{CD\_1}=\) [ ] и также \(-\overrightarrow{CD\_1}=\) [ ]. Следовательно, \(\overrightarrow{BA}+(-\overrightarrow{CD})=\overrightarrow{BA}+\) [ ] \(=\) [ ] (по [ ] треугольника). Этому вектору равны векторы \(\overrightarrow{B\_1B}=\) [ ] и [ ].
- \(\overrightarrow{D\_1C}\)
- \(\overrightarrow{AC}\)
- \(\overrightarrow{D\_1C}\)
- \(\overrightarrow{CA}\)
- \(\overrightarrow{D\_1A}\)
- \(\overrightarrow{С\_1B}\)
д) Используя результаты п. «а» и «б», получаем \(-\overrightarrow{CD\_1}-\overrightarrow{AC}=\) [ ] \(+(-\) [ ] \()=\) [ ] \(+\) [ ] \(=\) [ ]. Этот вектор равен вектору [ ].
- \(\overrightarrow{CA}\)
- \(\overrightarrow{C\_1A\_1}\)
- \(\overrightarrow{A\_1B}\)
- \(\overrightarrow{D\_1C}\)
- \(\overrightarrow{CA\_1}\)
- \(\overrightarrow{A\_1A}\)
- \(\overrightarrow{B\_1B}\)
- \(\overrightarrow{C\_1C}\)
- \(\overrightarrow{D\_1D}\)
- \(\overrightarrow{D\_1A}\)
- \(\overrightarrow{С\_1B}\)
Ответ: а) [ ], [ ]; б) [ ], [ ]; в) [ ]; г) [ ], [ ], [ ], [ ]; д) [ ], [ ].