Задание

Основано на упр. 31, стр. 23-24

Реши задачу

На рисунке изображен тетраэдр KLMN.

a) Построй сечение этого тетраэдра плоскостью, проходящей через ребро KL и середину А ребра MN.

б) Докажи, что плоскость, проходящая через середины Е, О и F отрезков LM, MA и МK, параллельна плоскости LKA. Найди площадь треугольника EOF, если площадь треугольника LKA равна 24 см^2 (задача 75 учебника).

Решение:

LMN прямой LA прямой KA треугольник LKA EF и EO средние линии треугольников LMK и LMA LKA параллельности плоскостей LKA параллельны EF:LK = EO:LA= FO:KA \dfrac{1}{2} EF:LK=1:2 (\dfrac{1}{2})^2 \dfrac{1}{4}\cdot S_{LAK} 6

а) Так как точки L и A принадлежат секущей плоскости и грани тетраэдра, то секущая плоскость пересекается с этой гранью по. Аналогично секущая плоскость пересекается с гранью KMN по. Следовательно, — искомое сечение.

б) Рассмотрим плоскости ЕFO и LKA. EF||LK и EO ||LA, так как - . Итак, две пересекающиеся прямые плоскости EFO соответственно параллельны двум прямым плоскости, поэтому, согласно признаку, плоскости EFО и -. Треугольники EOF и LAK подобны, так как, причем коэффициент подобия равен, так как. По теореме об отношении площадей подобных треугольников имеем: S_{EOF} : S_{LAK} = , откуда S_{EOF} = см^2 = см^2.

Ответ:

S_{EOF} = см^2.