Основано на упр. 2, стр. 8
Запиши верный ответ

Докажи, что функция \(y=\sqrt{\log\_2\cos\dfrac{2\pi x}{\sqrt{3}}}\) периодическая и найди её период.

Решение: Найдём область определения данной функции: \(\log\_2\cos\dfrac{2\pi x}{\sqrt{3}}\ge \) [ ], следовательно, \(\cos\dfrac{2\pi x}{\sqrt{3}}\ge \) [ ], поэтому, так как \(\cos t\le 1\) , то \(\cos\dfrac{2\pi x}{\sqrt{3}}=\) [ ] и \(\dfrac{2\pi x}{\sqrt{3}}=2\pi n\) , \(n\in \Z\) . Областью определения функции являются все действительные числа вида \(\sqrt{3}n\) , \(n\in \Z\) .

Пусть \(T=\sqrt{3}\) , тогда при любом целом \(n\) верны равенства

\(\sqrt{3}n+T=\sqrt{3} n+\sqrt{3}=\sqrt{3}(n+1)\) ;

\(\sqrt{3}n-T=\sqrt{3} n-\sqrt{3}=\sqrt{3}(n-1)\) ,

следовательно, каждое из этих чисел принадлежит области определения функции.

Таким образом, при любом \(x\) из области определения и любом целом \(n\) справедливы равенства

\(\cos\dfrac{2\pi(\sqrt{3}n+\sqrt{3})}{\sqrt{3}}=\cos2\pi(n+1)=\) [ ],

\(\cos\dfrac{2\pi\sqrt{3}n}{\sqrt{3}}=\cos 2\pi n=\) [ ],

откуда следует, что \(y(x+T)=0\) и \(y(x)=0\) , т. е. даннаяфункция является периодической и один из её периодов равен \(\sqrt{3}\) .