Основано на упр. 3, стр. 8
Заполни пропуски

Докажи, что не является периодической функция:

1. \(y=\sin\sqrt{x}\) .

2. \(y=x\ctg x\) .

3. Решение. Областью определения функции являются все неотрицательные действительные числа. Следовательно, если период \(T\gt 0\) , то для \(x=0 \) число \(x-T\) [принадлежит|не принадлежит] области определения. Если \(T\lt0\) , то для \(x=0\) число \(x+T\) [принадлежит|не принадлежит] области определения. Таким образом, функция \(y=\sin\sqrt{x}\) не является периодической.

4. Решение. Областью определения функции \(y=x\ctg x\) являются числа \(x \kern{0.27em}{=}\mathllap{/\,}\kern{0.27em} \pi n\) , \(n\in \Z\) . Предположим, что период этой функции — число \(T\gt0\) . Тогда для всех \(x\) из области определения должны быть верны равенства \((x+T)\ctg(x+T)=x\ctg x=(x-T)\ctg(x-T)\) . Пусть \(x=\dfrac{\pi}{2}\) , тогда числа \(\dfrac{\pi}{2}+T\) и \(\dfrac{\pi}{2}-T\) должны принадлежать области определения функции и при этом должно выполняться равенство \(\left(\dfrac{\pi}{2}+T\right)\ctg\left(\dfrac{\pi}{2}+T\right)=\dfrac{\pi}{2}\ctg \dfrac{\pi}{2}\) , откуда \(\left(\dfrac{\pi}{2}+T\right)\ctg\left(\dfrac{\pi}{2}+T\right)=\) [ ].

   Если \(T+\dfrac{\pi}{2}=\) [ ], то \(\ctg\left(\dfrac{\pi}{2}+T\right)\) не существует, т. е. число \(T+\dfrac{\pi}{2}\) [принадлежит|не принадлежит] области определения. Аналогично и для чисел \(\dfrac{\pi}{2}-T\) . Следовательно, функция \(y=x\ctg x\) не является периодической.