Основано на упр. 1, стр. 7 Найди наименьший положительный период функции y=4\cos x+\cos 2x. Решение. Функция определена на всём множестве действительных чисел \R. Пусть Т — период данной функции, т. е. для всех x из области определения верно равенство 4\cos(x+T)+\cos(2(x+T))=4\cos x+\cos 2x. Если x=0, то равенство примет вид 4\cos T+\cos 2T= . Так как \cos T\le , \cos 2T\le , то 4\cos T+\cos 2T= , только в случае, когда \cos T= и \cos 2T= , откуда следует, что T=2\pi n, n\in \Z, а наименьшее положительное число T=2\pi. Действительно, T=2\pi — период данной функции, так как для любого x\in \Z числа x+2\pi и x-2\pi также принадлежат \R и справедливо равенство 4\cos(x+2\pi)+\cos(2(x+2\pi))=4\cos x+\cos 2x.

Задание

Основано на упр. 1, стр. 7
Заполни пропуски в решении

Найди наименьший положительный период функции \(y=4\cos x+\cos 2x\) .

Решение. Функция определена на всём множестве действительных чисел \(\R\) . Пусть \(Т\) — период данной функции, т. е. для всех \(x\) из области определения верно равенство

\(4\cos(x+T)+\cos(2(x+T))=4\cos x+\cos 2x\) .

Если \(x=0\) , то равенство примет вид

\(4\cos T+\cos 2T=\) [ ].

Так как \(\cos T\le \) [ ], \(\cos 2T\le \) [ ], то \(4\cos T+\cos 2T=\) [ ], только в случае, когда \(\cos T=\) [ ] и \(\cos 2T=\) [ ], откуда следует, что \(T=2\pi n\) , \(n\in \Z\) , а наименьшее положительное число \(T=2\pi\) . Действительно, \(T=2\pi\) — период данной функции, так как для любого \(x\in \Z\) числа \(x+2\pi\) и \(x-2\pi\) также принадлежат \(\R\) и справедливо равенство

\(4\cos(x+2\pi)+\cos(2(x+2\pi))=4\cos x+\cos 2x\) .

Похожие

Тот же тест