Выполни задание

Какие из точек \(A(2;-1;-3)\) , \(B(5;-3;-3)\) , \(C(1;-1;-1)\) , \(E(2;-2;-1)\) , \(H(2;1;-9)\) лежат в одной плоскости?

Решение.

Если векторы \(\vec{AB} \) , \(\vec{AC} \) и \(\vec{AE} \) компланарны, то точки \(A\) , \(B\) , _____ и \(E\) _____ в одной плоскости, а если не компланарны, то точки \(A\) , \(B\) , _____ и __________ в одной _____.

1. Найдём координаты этих векторов: \(\vec{AB} \) { \(3\) ; \(\dots \) ; \(\dots \) }, \(\vec{AC} \) { \(\dots \) ; \(0\) ; \(\dots \) }, \(\vec{AE} \) { \(\dots \) ; \(\dots \) ; \(2\) }. Три вектора \(\vec{AB} \) , \(\vec{AC} \) и \(\vec{AE} \) компланарны, если один из них _____ разложить по двум другим, т. е. если существуют _____ \(x\) и \(y\) , такие, что \(\vec{AB} =\) _____ \(+y\vec{AE} \) . Запишем это равенство в координатах:

\(\begin{cases}3=1x+\dots y \\-2=\dots \\0=\dots \end{cases}\)

Из двух первых уравнений системы получаем \(x =\) _____ и \(y=\) _____. Подставим эти значения в третье уравнение: \(0=-3\cdot 2+\) _____. Это равенство неверно, поэтому векторы \(\vec{AB} \) , _____ и \(\vec{AE} \) _____, и, значит, точки \(A\) , \(B\) , \(C\) и _____ в одной плоскости.

2. Выясним, компланарны ли векторы \(\vec{AB} \) , \(\vec{AC} \) и \(\vec{AH} \) : \(\vec{AB} \) { \(3\) ; \(-2\) ; \(\dots \) }, \(\vec{AC} \) { \(\dots \) ; \(0\) ; \(2\) }, \(\vec{AH} \) { \(\dots \) ; \(\dots \) ; \(\dots \) }.

\(\begin{cases}3=-x+\dots \\-2=\dots \\0=2x-6y\end{cases}\)

Из двух первых _____системы получаем \(x=\) _____и \(y=\) _____. Подставим эти значения в третье уравнение: _____ \(=\) _____. Последнее равенство _____, поэтому векторы \(\vec{AB} \) , \(\vec{AC} \) и __________, и, следовательно, точки \(A\) , \(B\) , \(C\) и __________ в одной плоскости.