Докажи, что при центральной симметрии прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую. Доказательство. 1) Рассмотрим центральную _____ с центром O и произвольную прямую AB, не проходящую через точку O. Через прямую AB и _____ O проходит _____, и притом только _____. Обозначим её буквой \alpha. Точки A и B переходят при данной симметрии в _____ A_1 и B_1, также лежащие в _____ \alpha. Поэтому и вся прямая A_1B_1 _____ в плоскости \alpha. 2) Докажем, что A_1B_1\parallel _____. Так как \triangle OAB _____ \triangle OA_1B_1 (по двум _____ и _____ между ними: OA = _____, _____ =OB_1, \angle AOB=\angle _____), то \angle ABO= _____. Значит, равны _____ лежащие углы при пересечении прямых AB и _____ секущей _____. Поэтому AB _____ A_1B_1. 3) Осталось доказать, что при симметрии с центром O прямая AB _____ на прямую _____ . Для этого нужно доказать, что при данной симметрии любая _____ M прямой AB переходит в некоторую точку прямой _____, и, обратно, произвольная точка N_1 прямой A_1B_1 симметрична какой-то точке _____ AB. Рассмотрим произвольную точку M на _____ AB, отличную от точки A, и проведём прямую MO. Она пересекает _____ A_1B_1 в точке M_1. Тогда \angle MOA=\angle _____ (вертикальные углы), \angle MAO= _____ (_____ при пересечении _____ прямых _____ и A_1B_1 секущей _____). Кроме того, AO= _____ (точки A и A_1 _____ относительно точки O). Следовательно, \triangle MAO=\triangle _____ (по стороне и _____). Отсюда следует, что MO = _____, и, значит, точка M при симметрии с центром O переходит в точку _____, лежащую на прямой A_1B_1. Аналогично доказывается, что любая точка N_1 прямой A_1B_1 симметрична некоторой _____ N прямой AB.
Логотип SimpleЦДЗ

Похожие

Задание

Выполни задание

Докажи, что при центральной симметрии прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую.

Доказательство.

  1. Рассмотрим центральную _____ с центром \(O\) и произвольную прямую \(AB\) , не проходящую через точку \(O\) . Через прямую \(AB\) и _____ \(O\) проходит _____, и притом только _____. Обозначим её буквой \(\alpha \) . Точки \(A\) и \(B\) переходят при данной симметрии в _____ \(A\_1\) и \(B\_1\) , также лежащие в _____ \(\alpha \) . Поэтому и вся прямая \(A\_1B\_1\) _____ в плоскости \(\alpha \) .

  2. Докажем, что \(A\_1B\_1\parallel \) _____. Так как \(\triangle OAB\) _____ \(\triangle OA\_1B\_1\) (по двум _____ и _____ между ними: \(OA =\) _____, _____ \(=OB\_1\) , \(\angle AOB=\angle\) _____), то \(\angle ABO=\) _____. Значит, равны _____ лежащие углы при пересечении прямых \(AB\) и _____ секущей _____. Поэтому \(AB\) _____ \(A\_1B\_1\) .

  3. Осталось доказать, что при симметрии с центром \(O\) прямая \(AB\) _____ на прямую _____ . Для этого нужно доказать, что при данной симметрии любая _____ \(M\) прямой \(AB\) переходит в некоторую точку прямой _____, и, обратно, произвольная точка \(N\_1\) прямой \(A\_1B\_1\) симметрична какой-то точке _____ \(AB\) .

Рассмотрим произвольную точку \(M\) на _____ \(AB\) , отличную от точки \(A\) , и проведём прямую \(MO\) . Она пересекает _____ \(A\_1B\_1\) в точке \(M\_1\) . Тогда \(\angle MOA=\angle \) _____ (вертикальные углы), \(\angle MAO=\) _____ (_____ при пересечении _____ прямых _____ и \(A\_1B\_1\) секущей _____). Кроме того, \(AO=\) _____ (точки \(A\) и \(A\_1\) _____ относительно точки \(O\) ). Следовательно, \(\triangle MAO=\triangle \) _____ (по стороне и _____). Отсюда следует, что \(MO =\) _____, и, значит, точка \(M\) при симметрии с центром \(O\) переходит в точку _____, лежащую на прямой \(A\_1B\_1\) .

Аналогично доказывается, что любая точка \(N\_1\) прямой \(A\_1B\_1\) симметрична некоторой _____ \(N\) прямой \(AB\) .

Тот же тест