Изучи теорию и заполни пропуски
Основные теоремы о равносильности неравенств.
Теорема \(1.\) Если какой-либо член неравенства перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, оставив знак неравенства без изменения, то получится неравенство, равносильное данному.
Теорема \(2.\) Если обе части неравенства возвести в одну и ту же нечётную степень, оставив знак неравенства без изменения, то получится неравенство, равносильное данному.
Теорема \(3. \) Показательное неравенство \(af(x)\gt ag(x)\) равносильно:
а) неравенству того же смысла \(f(x)\gt g(x)\) , если \(a\gt 1\) ;
б) неравенству противоположного смысла \(f(x)\lt g(x)\) , если \(0\lt a\lt 1\) .
Теорема \(4.\)
Если обе части неравенства \(f(x)\gt g(x)\) умножить на одно и то же выражение \(h(x)\) , положительное при всех \(x\) из области определения (области допустимых значений переменной) неравенства \(f(x)\gt g(x)\) , оставив при этом знак неравенства без изменения, то получится неравенство \(f(x)\cdot h(x)\gt g(x)\cdot h(x)\) , равносильное данному.
Если обе части неравенства \( f(x)\gt g(x) \) умножить на одно и то же выражение \(h(x)\) , отрицательное при всех \(x\) из области определения неравенства \(f(x)\gt g(x)\) , изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство \(f(x)\cdot h(x)\lt g(x)\cdot h(x)\) , равносильное данному.
Теорема \(5.\) Если обе части неравенства \(f(x)\gt g(x)\) неотрицательны в области его определения (в ОДЗ), то после возведения обеих частей неравенства в одну и ту же чётную степень \(n\) получится неравенство, равносильное данному.
Реши неравенство \(\sqrt{x^2-1}\gt \sqrt{x+5}\) .
Решение.
Обе части неравенства неотрицательны, поэтому по [теореме 5|теореме 3|теореме 2] возведём обе части неравенства в квадрат.
Получим \(x^2-1\gt x+5\) .
Но! Область определения неравенств даёт нам еще два неравенства:
\(х+5\geqslant 0\) и \(x^2-1\geqslant 0\) .
Таким образом, получим систему неравенств, равносильую первоначальному неравенству:
\(\begin{cases} х^2-1\lt x+5,\\х+5\geqslant 0,\\x^2-1\geqslant 0.\end{cases}\)
Решим отдельно каждое неравенства системы.
\(1. \) Решением неравенства \(х^2-1\gt x+5 \) является объединение двух числовых промежутков: \((\) [ ];[ ] \()\cup(\) [ ];[ ].
\(2. \) Решением неравенства \(х+5\geqslant 0\) является числовой промежуток \( [\) [ ] ;[ ] \()\) .
\(3.\) Решением неравенства \(x^2-1\geqslant 0\) является объединение числовых промежутков \((\) [ ];[ ] \(]\cup [\) [ ];[ ] \()\) .
Общим решением исходного неравенства является объединение числовых промежутков \([\) [ ];[ ] \()\cup (\) [ ];[ ]).
Ответ: \(x\in [\) [ ]; [ ] \()\cup (\) [ ]; [ ] ).