Докажи иррациональность числа Докажем иррациональность числа \log_2 5. Доказательство. Предположим, что \log_2 5 — число рациональное, т. е. пусть \log_2 5=\dfrac{p}{q}, где p и q — натуральные числа, не имеющие общего делителя. Тогда по определению логарифма справедливо равенство 2^{\frac{p}{q}}=5. Возведя это равенство в степень q, получим верное равенство 2^p=5^q. Но последнее равенство невозможно ни для каких натуральных чисел p и q, так как в левой его части всегда чётное число, а в правой — нечётное. Следовательно, \log_2 5 — число иррациональное, что и требовалось доказать.

Задание

Докажи иррациональность числа

Докажем иррациональность числа \(\log\_2 5\) .

Доказательство.

Предположим, что \(\log\_2 5\) — число рациональное, т. е. пусть \(\log\_2 5=\dfrac{p}{q}\) , где \(p\) и \(q\) — натуральные числа, не имеющие общего делителя. Тогда по определению логарифма справедливо равенство \(2^{\frac{p}{q}}=5\) . Возведя это равенство в степень \(q\) , получим верное равенство \(2^p=5^q\) . Но последнее равенство невозможно ни для каких натуральных чисел \(p\) и \(q\) , так как в левой его части всегда чётное число, а в правой — нечётное. Следовательно, \(\log\_2 5\) — число иррациональное, что и требовалось доказать.

Похожие

Тот же тест