Докажи иррациональность числа

Докажем иррациональность числа \(\log\_2 5\) .

Доказательство.

Предположим, что \(\log\_2 5\) — число рациональное, т. е. пусть \(\log\_2 5=\dfrac{p}{q}\) , где \(p\) и \(q\) — натуральные числа, не имеющие общего делителя. Тогда по определению логарифма справедливо равенство \(2^{\frac{p}{q}}=5\) . Возведя это равенство в степень \(q\) , получим верное равенство \(2^p=5^q\) . Но последнее равенство невозможно ни для каких натуральных чисел \(p\) и \(q\) , так как в левой его части всегда чётное число, а в правой — нечётное. Следовательно, \(\log\_2 5\) — число иррациональное, что и требовалось доказать.