Реши неравенство

Решим неравенство

\(6\cdot 9^x-13\cdot 6^x+6\cdot 4^x\gt 0\) .

Решение.

Так как \(4^x\gt 0\) для любых действительных \(x\) , то, вынося множитель \(4^x\) за скобки, перепишем уравнение в виде

\(4^x\cdot \left( 6\cdot \left( \dfrac{3}{2}\right) ^{2x}-13\cdot \left( \dfrac{3}{2}\right) ^x+6\right) \gt 0\) .

Так как \(4^x\gt 0\) для любых действительных \(x\) , то все решения неравенства совпадают с решениями неравенства

\(6\cdot \left( \dfrac{3}{2}\right) ^{2x}-13\cdot \left( \dfrac{3}{2}\right) ^x+6\gt 0\) .

Обозначив \(t=\left( \dfrac{3}{2}\right) ^x\) , перепишем неравенство в виде

\(6^2-13t+6\gt 0\) .

Множество всех решений неравенства есть и все \(t\lt \dfrac{2}{3}\) , и все \(t\gt \dfrac{3}{2}\) , поэтому множество всех решений неравенства есть объединение множеств решений двух неравенств:

1. \(\left( \dfrac{3}{2}\right) ^x\lt \dfrac{2}{3}\) и 2) \(\left( \dfrac{3}{2}\right) ^x\gt \dfrac{3}{2}\) .

Множество всех решений неравенства 1) есть интервал \((-\infty ;-1)\) , множество всех решений неравенства 2) есть инревал \((1;+\infty )\) , поэтому все решения исходного неравенства составляют множество \((-\infty ;-1)\cup (1;+\infty )\) .

Ответ: \((-\infty ;-1)\cup (1;+\infty )\) .

Замечания:

1. Если обозначить \(3^x=u\) , \(2^x=v\) , то исходное неравенство можно записать в виде \(6u^2-13uv+6v^2\gt 0\) . Такое неравенство является однородным неравенство второй степени относительно пары \((u;v)\) .
2. При решении уравнений исходного типа часто не делают проведённых выше вкладок, а просто пишут: «Так как \(2^x\gt 0\) для дюбого действительного \(x\) , то, разделив исходное неравенство на \(2^x\) , получим третье неравенство, имеющее те же решения, что и исходное неравенство». И далее решают третье неравенство, как показано выше.