Докажи и заполни пропуски

Прямая \(a\) образует с плоскоскостью \(\alpha\) угол \(\varphi\) ( \(0^\circ\lt\varphi\lt 90 ^\circ\) ). Прямая \(b\) , принадлежащая данной плоскости, образует с прямой \(a\) угол \(\gamma\) , а с её проекцией на плоскость \(\alpha\) угол \(\beta\) .

Доказать: \(\cos \gamma = \cos\varphi \cos\beta\) .

Доказательство.

• \(\varphi\)
• \(1\)
• \(0\)
• \(\dfrac{BC}{BA}\)
• \(\dfrac{BA\_1}{BA}\)
• \(\dfrac{BC}{BA\_1}\)

Пусть \(a\cap \alpha =B\) , точка \(A\ina\) и \(A\not=B\) , точка \(A\_1\) — проекция \(A\) на \(\alpha \) . По условию \(\angle ABA\_1=\) [ ].

Достаточно рассмотреть случай \(B\in b\) (см. определение угла между двумя прямыми).

Если \(\beta=0^\circ\) , \(\cos \beta=\) [ ], \(\varphi=\gamma\) , равенство очевидно.

Если \(\beta=90^\circ\) , то \(\gamma=90^\circ\) \(\cos \gamma=\cos \beta=\) [ ], равенство очевидно.

Если \(0^\circ\lt\beta\lt 90 ^\circ\) , \(AC\perp b\) , то по теореме о трёх перпендикулярах \(A\_1C\perp B\) .

Из \(\triangle ABC\) : \(\cos \gamma=\) [ ].

Из \(\triangle ABA\_1\) : \(\cos \varphi=\) [ ].

Из \(\triangle CBA\_1\) : \(\cos \beta=\) [ ].

Получаем, что \(\cos \gamma = \cos\varphi \cos\beta\) .