Задание

Выполни задание

Докажи, что при центральной симметрии прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую.

Доказательство.

1) Рассмотрим симметрию с O и произвольную прямую AB, не проходящую через точку O. Через прямую AB и O проходит , и притом . Обозначим её буквой \alpha. Точки A и B переходят при данной симметрии в точки A_1 и B_1, также лежащие в плоскости \alpha. Поэтому и вся прямая A_1B_1 в плоскости \alpha.

2) Докажем, что A_1B_1\parallel AB. Так как \triangle OAB \triangle (по двум и между ними: OA = , OB= , \angle AOB=\angle ), то \angle ABO=\angle . Значит, равны лежащие углы при пересечении прямых AB и A_1B_1 секущей BB_1. Поэтому AB A_1B_1.

3) Осталось доказать, что при симметрии с центром O прямая AB отображается на прямую A_1B_1. Для этого нужно доказать, что при данной симметрии любая точка M прямой AB переходит в некоторую точку прямой A_1B_1 и, обратно, произвольная точка N_1 прямой A_1B_1 симметрична какой-то точке прямой AB.

a) Рассмотрим произвольную точку M на AB, отличную от точки A, и проведём прямую MO. Она пересекает A_1B_1 в точке M_1. Тогда \angle MOA=\angle ( углы), \angle MAO=\angle ( лежащие при пересечении прямых AB и A_1B_1 секущей AA_1).

Кроме того, AO A_1O (точки A и A_1 равноудалены относительно точки O). Следовательно, \triangle MAO \triangle (по и двум прилежащим к ней ). Отсюда следует, что MO M_1O, и, значит, точка M при симметрии с O переходит в точку M_1, лежащую на прямой A_1B_1.

б) Аналогично доказывается, что любая точка N_1 прямой A_1B_1 симметрична некоторой точке N прямой AB. Следовательно, при центральной симметрии прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на ей прямую, что и требовалось доказать.