Заполни пропуски

Даны точки \(P(0;1;-4)\) , \(M(-2;-1;0)\) , \(E(3;5;0)\) , \(C(-1;0;-2)\) , \(T(1;3;4)\) .

а) Лежит ли точка \(C\) на прямой \(PM\) ?

б) Лежит ли точка \(E\) на прямой \(CM\) ?

в) Равны ли векторы \(\vec{PM} \) и \(\vec{EC} \) ?

г) Равны ли векторы \(\vec{PM} \) и \(\vec{ET} \) ?

Решение.

а) Если векторы \(\vec{PM} \) и \(\vec{MC} \) коллинеарны, то точки \(P\) , \(M\) и \(C\) [ ] на одной прямой. \(\vec{PM} \) { \(-2-0\) ; [ ]; [ ]}, т. е. \(\vec{PM} \) {[ ];[ ]; \(4\) }. \(\vec{MC} \) {[ ]; \(0-(-1)\) ; [ ]}, т. е. \(\vec{MC} \) {[ ]}.

Так как \(\vec{PM} =\) [ ] \(\vec{MC} \) , то векторы \(\vec{PM} \) и \(\vec{MC} \) [ ], следовательно, точки \(P\) , \(M\) и \(C\) [ ] на одной прямой.

б) Выясним, являются ли коллинеарными [ ] \(\vec{CM} \) и \(\vec{CE} \) : \(\vec{CM} \) {[ ];[ ];[ ]}, \(\vec{CE} \) {[ ];[ ];[ ]}, следовательно, векторы \(\vec{CM} \) и \(\vec{CE} \) [ ]. Значит, точки \(C\) , \(M\) и \(E\) [ ] на одной прямой, иначе векторы \(\vec{CM} \) и \(\vec{CE} \) были бы [ ].

в) Найдём координаты векторов \(\vec{PM} \) и \(\vec{EC} \) : \(\vec{PM} \) { \(-2\) ;[ ];[ ]}, \(\vec{EC} \) {[ ];[ ]; \(-2\) }. Следовательно, \(\vec{PM} \) [ ] \(\vec{EC} \) .

г) \(\vec{PM} \) {[ ];[ ];[ ]}, \(\vec{ET} \) {[ ];[ ];[ ]}, следовательно, \(\vec{PM} \) [ ] \(\vec{ET} \) .

Ответ:

а) точка \(C\) [ ] на прямой \(PM\) ;

б) точка \(E\) [ ] на прямой [ ];

в) \(\vec{PM} \) [ ] \(\vec{EC} \) ;

г) \(\vec{PM} \) [ ] \(\vec{ET} \) .