Реши задачу и запиши ответ

Задача. Вася сказал: «Я задумал два числа, сумма которых — \(18\) , а произведение — \(65\) ». Какие числа задумал Вася?

\(\text{I}\) способ. Пусть Вася задумал числа \(x\) и \(18 - x\) . Составим и решим уравнение:

\(x(18 - x) = 65\) ,

\(18x - x^2 - 65 = 0\) ,

\(x^2 - 18x + 65 = 0\) .

\(\dfrac{D}{4} = (-9)^2 - 65 = 16\) , \(x\_{1,\,2} = 9 \pm \sqrt{16} = 9 \pm 4\) ,

\(x\_1 = 13\) , \(x\_2 = 5\) .

Если первое число — \(5\) , то второе — \(13\) , если первое число — \(13\) , то второе — \(5\) .

\(\text{II}\) способ. Пусть Вася задумал числа \(9 - x\) и \(9 + x\) . Составим и решим уравнение:

\((9 - x)(9 + x) = 65\) ,

\(81 - x^2 - 65 = 0\) ,

\(-x^2 + 16 = 0\) ,

\(x^2 - 16 = 0\) ,

\(x\_1 = 4\) , \(x\_2 = -4\) .

В обоих случаях получим ту же пару чисел \(5\) и \(13\) .

\(\text{III}\) способ. Так как сумма двух чисел — \(18\) , а произведение — \(65\) , то они являются корнями квадратного уравнения — см. \(\text{I}\) способ.

Ответ: \(5\) и \(13\) .

Замечание. Способом \(\text{II}\) пользовался Диофант ( \(\text{III}\) в. н. э.), когда техника решения квадратных уравнений ещё не была разработана. Способ \(\text{III}\) основан на применении теоремы, обратной теореме Виета.

В течение года зарплату сотрудника дважды увеличивали на одно и то же число процентов. В результате за год его зарплата увеличилась на \(69\,\%\) . На сколько процентов увеличили зарплату в первый раз?

Пусть зарплата сотрудника в начале года составляла \(a\) р., её \(2\) раза повысили на \(p\,\%\) , \(p \gt 0\) . Составим и решим уравнение:

\(a(1 - \dfrac{p}{100})^2 = 1,69a\) .

Так как \(a \ne 0\) , то, разделив уравнение на \(a\) , получим уравнение

\((1 - \dfrac{p}{100})^2 = 1,69\)

относительно \(p\) , равносильное уравнению \(a(1 - \dfrac{p}{100})^2 = 1,69a\) .

Указание. Не спеши применять формулу квадрата разности, уравнение можно решить проще.

Ответ: [ ].