Задание

Заполни пропуски в решении

Задача.

Две окружности, радиусами r и R вписаны в один и тот же угол и касаются внешним образом в точке Q.

Найти расстояние от вершины угла O до меньшей окружности, если отрезок касательной от точки O до точки касания с этой окружностью равен 12 и радиус меньшей окружности равен 5.

Найти радиус окружности с центром в точке Q, вписанной в этот угол, если радиус меньшей окружности равен 3, радиус большей окружности равен 7.

Решение.

Пусть ОС=12; MA=5 тогда по теореме о касательных ОС^2=OM\cdot OQ пусть OM=х, тогда ОС^2=OM\cdot (OM+2MA). Подставим значения =(x+10)* получим x= .

Точки O,A,B,Q – лежат на одной прямой, которая является биссектрисой угла. Обозначим радиус окружности с центром в точке Q за x. Тогда QH=x, пусть отрезок OA=a.

Из подобия треугольников OAC и OQH (по двум углам) получаем, что \dfrac{x}{5}=\dfrac{a+5}{a}.

Выразим x= .

Из подобия треугольников OBD и OAC получаем, что \dfrac{5}{7}=\dfrac{a}{a+12}. Отсюда находим, что a= .

Теперь найдём x= .