Заполни пропуски в решении
Задача.
Две окружности, радиусами \(r\) и \(R\) вписаны в один и тот же угол и касаются внешним образом в точке \(Q\) .
- Найти расстояние от вершины угла \(O\) до меньшей окружности, если отрезок касательной от точки \(O\) до точки касания с этой окружностью равен \(12\) и радиус меньшей окружности равен \(5\) .
- Найти радиус окружности с центром в точке \(Q\) , вписанной в этот угол, если радиус меньшей окружности равен \(3\) , радиус большей окружности равен \(7\) .
Решение.
Пусть \(ОС=12; MA=5\) тогда по теореме о касательных \(ОС^2=OM\cdot OQ\) пусть \(OM=х\) , тогда \(ОС^2=OM\cdot (OM+2MA)\) . Подставим значения [ ] \(=(x+10)\*\) [ ] получим \(x=\) [ ].
Точки \(O,A,B,Q\) – лежат на одной прямой, которая является биссектрисой угла. Обозначим радиус окружности с центром в точке \(Q\) за \(x\) . Тогда \(QH=x\) , пусть отрезок \(OA=a\) .
Из подобия треугольников \(OAC\) и \(OQH\) (по двум углам) получаем, что \(\dfrac{x}{5}=\dfrac{a+5}{a}\) .
Выразим \(x=\) [ \(\frac{49}{a-5}\) | \(\frac{5(a+5)}{a}\) | \(\frac{a^2}{a-5}\) ].
Из подобия треугольников \(OBD\) и \(OAC\) получаем, что \(\dfrac{5}{7}=\dfrac{a}{a+12}\) . Отсюда находим, что \(a=\) [ ].
Теперь найдём \(x=\) [ ].