Запиши ответ

В треугольнике \(ABC\) \(\angle C=90\degree\) , \(AC=1\) см, \(BC=\sqrt{2}\) см, медианы \(AK\) и \(CM\) пересекаются в точке \(N\) . Найди \(\angle ANC\) .

Решение.

Построй треугольник, проведи в нём две медианы и обозначь, согласно условию задачи. Для решения задачи вспомним некоторые свойства, теоремы.

Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении \(2:1\) , начиная от вершины треугольника.

Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Найдём медиану \(CM\) как половину гипотенузы \(AB\) \(\triangle ABC\) :

\(AB^2=AC^2+BC^2\) ,

\(AB^2=\) [ ] \(=\) [ ],

\(AB=\sqrt{3}\) ,

\(CM=\dfrac{1}{2}\) [ ] \(=\dfrac{1}{2}\cdot \sqrt{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) .

Найдём медиану \(AK\) как гипотенузу \(\triangle AkC\) , \(CK=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) :

\(AK^2=AC^2+CK^2\) ,

\(AK^2=\) [ ] \(=\) [ ],

\(AK=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\) ,

Найдём отрезки \(AN\) , \(CN\) как \(2/3\) медиан.

\(AN=\dfrac{2}{3}AK=\) [ ] \(\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\) \(\dfrac{\sqrt{6}}{3}\) ,

\(CN=\dfrac{2}{3}CM=\) [ ] \(\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\) \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) .

Найдем \(\angle ANC\) по теореме косинусов: \(\cos \angle ANC =\) \(\dfrac{CN^2+AN^2-AC^2}{2CN\cdot AN}\) .

Подставь значения и найди, что \(\cos \angle ANC =\) [ ], тогда \(\angle ANC =\) [ ] \(\degree\) .

Ответ:[ ] \(\degree\) .