Выполни задание
Сформулируем принцип математической индукции.
Если свойство, зависящее от натурального числа \(n\) , во-первых, верно при \(n = 1\) и, во-вторых, из предположения, что оно верно при \(n = k\) , следует, что оно верно при \(n = k + 1\) , то считают, что это свойство верно для любого натурального числа \(n\) .
Докажем с помощью метода математической индукции, что
\(1^n = 1\) .
Доказательство.
Если \(n = 1\) , то \(1^1 = 1\) — верно.
Предположим, что при \(n = k\) формула верна, т. е. что \(1^k = 1\) . Докажем, что она верна для \(n = k + 1\) , т. е. что \(1^{k + 1} = 1\) .
Так как \(1^{k + 1} = 1^{k \cdot 1}\) , а, по нашему предположению, \(1^k = 1\) , то \(1^{k + 1} = 1 \cdot 1 = 1\) , т. е. \(1^{k + 1} = 1\) .
- Согласно принципу математической индукции, формула \(1^n = 1\) верна для любого натурального числа \(n\) .
Иногда условия задачи не позволяют сделать проверку при \(n = 1\) . В этом случае проверку выполняют для наименьшего возможного по условиям задачи числа \(n\) .
Докажем при помощи метода математической индукции, что сумма \(S\_n\) внутренних углов выпуклого многоугольника равна
\(S\_n = 180 \degree \cdot (n-2)\) .
Доказательство. Наименьшее число сторон выпуклого многоугольника равно \(3\) .
Если \(n = 3\) , то \(S\_3 = 180 \degree \cdot (3-2) = 180 \degree\) — верно.
Предположим, что при \(n = k\) формула верна, т. е. что \(S\_k = 180 \degree \cdot (k-2)\) . Докажем, что она верна для \(n = k + 1\) , т. е. что \(S\_k + 1 = 180 \degree \cdot (k-1)\) .
В выпуклом \((k + 1)\) -угольнике \(A\_1A\_2A\_3...A\_{k + 1}\) проведём диагональ \(A\_1A\_3\) . Она разобьёт \((k + 1)\) -угольник на треугольник \(A\_1A\_2A\_3\) и выпуклый \(k\) -угольник \(A\_1A\_3...A\_{k + 1}\) . Сумма внутренних углов выпуклого \((k + 1)\) -угольника, равная \(S\_{k + 1}\) , складывается из суммы внутренних углов треугольника, она равна \(180 \degree\) , и суммы внутренних углов выпуклого \(k\) -угольника, которая, по нашему предположению, равна \(S\_k = 180 \degree \cdot (k-2)\) . Получаем \(S\_{k + 1} = 180 \degree + 180 \degree \cdot (k-2) = 180 \degree \cdot (k-1)\) , т. е. \(S\_{k + 1} = 180 \degree \cdot (k-1)\) .
- Согласно принципу математической индукции, формула верна для любого натурального числа \(n\) .
Бревно распилили, сделав \(n\) распилов. Докажи, что получилась \(n + 1\) часть.