Сформулируем принцип математической индукции. Если свойство, зависящее от натурального числа n, во-первых, верно при n = 1 и, во-вторых, из предположения, что оно верно при n = k, следует, что оно верно при n = k + 1, то считают, что это свойство верно для любого натурального числа n. Докажем с помощью метода математической индукции, что 1^n = 1. Доказательство. 1) Если n = 1, то 1^1 = 1 — верно. 2) Предположим, что при n = k формула верна, т. е. что 1^k = 1. Докажем, что она верна для n = k + 1, т. е. что 1^{k + 1} = 1. Так как 1^{k + 1} = 1^{k \cdot 1}, а, по нашему предположению, 1^k = 1, то 1^{k + 1} = 1 \cdot 1 = 1, т. е. 1^{k + 1} = 1. 3) Согласно принципу математической индукции, формула 1^n = 1 верна для любого натурального числа n. Иногда условия задачи не позволяют сделать проверку при n = 1. В этом случае проверку выполняют для наименьшего возможного по условиям задачи числа n. Докажем при помощи метода математической индукции, что сумма S_n внутренних углов выпуклого многоугольника равна S_n = 180 \degree \cdot (n-2). Доказательство. Наименьшее число сторон выпуклого многоугольника равно 3. 1) Если n = 3, то S_3 = 180 \degree \cdot (3-2) = 180 \degree — верно. 2) Предположим, что при n = k формула верна, т. е. что S_k = 180 \degree \cdot (k-2). Докажем, что она верна для n = k + 1, т. е. что S_k + 1 = 180 \degree \cdot (k-1). В выпуклом (k + 1)-угольнике A_1A_2A_3...A_{k + 1} проведём диагональ A_1A_3. Она разобьёт (k + 1)-угольник на треугольник A_1A_2A_3 и выпуклый k-угольник A_1A_3...A_{k + 1}. Сумма внутренних углов выпуклого (k + 1)-угольника, равная S_{k + 1}, складывается из суммы внутренних углов треугольника, она равна 180 \degree, и суммы внутренних углов выпуклого k-угольника, которая, по нашему предположению, равна S_k = 180 \degree \cdot (k-2). Получаем S_{k + 1} = 180 \degree + 180 \degree \cdot (k-2) = 180 \degree \cdot (k-1), т. е. S_{k + 1} = 180 \degree \cdot (k-1). 3) Согласно принципу математической индукции, формула верна для любого натурального числа n. Бревно распилили, сделав n распилов. Докажи, что получилась n + 1 часть.
Логотип SimpleЦДЗ

Похожие

Задание

Выполни задание

Сформулируем принцип математической индукции.

Если свойство, зависящее от натурального числа \(n\) , во-первых, верно при \(n = 1\) и, во-вторых, из предположения, что оно верно при \(n = k\) , следует, что оно верно при \(n = k + 1\) , то считают, что это свойство верно для любого натурального числа \(n\) .

Докажем с помощью метода математической индукции, что

\(1^n = 1\) .

Доказательство.

  1. Если \(n = 1\) , то \(1^1 = 1\) — верно.

  2. Предположим, что при \(n = k\) формула верна, т. е. что \(1^k = 1\) . Докажем, что она верна для \(n = k + 1\) , т. е. что \(1^{k + 1} = 1\) .

Так как \(1^{k + 1} = 1^{k \cdot 1}\) , а, по нашему предположению, \(1^k = 1\) , то \(1^{k + 1} = 1 \cdot 1 = 1\) , т. е. \(1^{k + 1} = 1\) .

  1. Согласно принципу математической индукции, формула \(1^n = 1\) верна для любого натурального числа \(n\) .

Иногда условия задачи не позволяют сделать проверку при \(n = 1\) . В этом случае проверку выполняют для наименьшего возможного по условиям задачи числа \(n\) .

Докажем при помощи метода математической индукции, что сумма \(S\_n\) внутренних углов выпуклого многоугольника равна

\(S\_n = 180 \degree \cdot (n-2)\) .

Доказательство. Наименьшее число сторон выпуклого многоугольника равно \(3\) .

  1. Если \(n = 3\) , то \(S\_3 = 180 \degree \cdot (3-2) = 180 \degree\) — верно.

  2. Предположим, что при \(n = k\) формула верна, т. е. что \(S\_k = 180 \degree \cdot (k-2)\) . Докажем, что она верна для \(n = k + 1\) , т. е. что \(S\_k + 1 = 180 \degree \cdot (k-1)\) .

В выпуклом \((k + 1)\) -угольнике \(A\_1A\_2A\_3...A\_{k + 1}\) проведём диагональ \(A\_1A\_3\) . Она разобьёт \((k + 1)\) -угольник на треугольник \(A\_1A\_2A\_3\) и выпуклый \(k\) -угольник \(A\_1A\_3...A\_{k + 1}\) . Сумма внутренних углов выпуклого \((k + 1)\) -угольника, равная \(S\_{k + 1}\) , складывается из суммы внутренних углов треугольника, она равна \(180 \degree\) , и суммы внутренних углов выпуклого \(k\) -угольника, которая, по нашему предположению, равна \(S\_k = 180 \degree \cdot (k-2)\) . Получаем \(S\_{k + 1} = 180 \degree + 180 \degree \cdot (k-2) = 180 \degree \cdot (k-1)\) , т. е. \(S\_{k + 1} = 180 \degree \cdot (k-1)\) .

  1. Согласно принципу математической индукции, формула верна для любого натурального числа \(n\) .

Бревно распилили, сделав \(n\) распилов. Докажи, что получилась \(n + 1\) часть.

Тот же тест