Задание
Реши задачу, заполнив пропуски, и запиши ответ
Высота конуса равна \(4\) см, а радиус основания равен \(3\) см. Вычисли площадь полной поверхности правильной шестиугольной пирамиды, вписанной в конус.
Решение.
- Пирамида вписана в конус, если её основание вписано в основание [треугольника|шестиугольника|конуса], а вершина пирамиды совпадает с [образующей|вершиной|основанием] конуса. Пусть правильная шестиугольная [пирамида|трапеция|правильная трапеция] \(PABCDEF\) вписана в
[треугольник|конус|призму] с высотой \(PO\) . По условию \(PO = \) [ ] см, \(OA=OB=\) [ ] см. - Сторона правильного шестиугольника равна радиусу [описанной|построенной] около него [призмы|пирамиды|окружности], поэтому \(AB=\) [ ] \( = \) [ ] см. Площадь основания пирамиды \(S\_{осн}\) в
[ ] раз больше площади [кривой|треугольника|угла] \(AOB\) , т. е. \(S\_{осн}=6\cdot \) [ \(S\_{APB}\) | \(S\_{AOP}\) | \(S\_{AOB}\) ] \( = \) [ ] \(\cdot\dfrac{OA^{2} \cdot \sqrt{3}} {\dfrac {\sqrt {3}}{4}} =\) [ ] \(\cdot 3\sqrt{3}\) см \(^2\) . - Из прямоугольного [треугольника|параллелепипеда] \(POA\) находим: \(PA = \sqrt{PO^2 + AO^2} = \) [ ] \(=\) [ ] см.
- Проведём апофему \(PK\) пирамиды. В прямоугольном треугольнике \(APK\) имеем \(AK =\) [ ] \(AB=\) [ ] см, \(PA=\) [ ] см. Поэтому \(PK=\)
\(\mathrlap{\sqrt{\phantom{ PA^2-AK^2 \raisebox{1.1em}{\kern{1.9em}}}}}{\phantom{00}} \) [ ] \(-AK^2=\) [ ] \(=\) [ ] см. - Площадь боковой поверхности \(S\_{бок}\) пирамиды в
[ ] раз больше площади [образующей|боковой] грани \(PAB\) , поэтому
\(S\_{бок}=6\) [ \(S\_{PAB}\) | \(S\_{AOB}\) | \(S\_{осн}\) ] \(=6\cdot \) [ ] \(=\cdot AB\cdot \) [ \(PO\) | \(PK\) | \(PA\) ] \(=\) [ ] \(\cdot \sqrt{91}\) (см \(^2\) ).
\(S\_{пир}=S\_{бок}+S\_{осн}=4,5\cdot\sqrt{91}+\) [ ] см \(^2\) .
Ответ: [ ] см \(^2\) .