Реши задачу

В усечённый конус вписана правильная усечённая треугольная пирамида (т. е. основания пирамиды вписаны в основания усечённого конуса). Радиусы оснований усечённого конуса равны \(2\) см и \(5\) см, а высота равна \(4\) см. Вычисли площадь полной поверхности пирамиды.

Решение.

Пусть правильная усечённая пирамида \(ABCA\_{1}B\_{1}C\_{1}\) вписана в усечённый конус с осью \(OO\_{1}\) . По условию задачи \(OA = \) [ ] см, \(O\_{1}A\_{1} = \) [ ] см, \(OO\_{1} = \) [ ] см.

1. Радиус \(OA\) окружности, описанной около правильного
   [треугольника|конуса|параллелепипеда] \(ABC\) , выражается через сторону \(AB\) формулой \(OA =\dfrac {AB}{\sqrt{3}}\) , откуда \(AB = OA \cdot\) [ ] \( = \) [ ] (см), \(S\_{ABC} =\dfrac{AB^2\cdot \sqrt{3}}{4} =\) [ ](см \(^2\) ). Аналогично получаем \(A\_1B\_{1} = \) [ ] см, \(S\_{A\_1B\_1C\_1}\) = \(A\_{1}B\_1^{2} \cdot\) [ ] \( = \) [ ](см \(^2\) ).
2. Проведём \(AH \perp O\_{1}A\_{1}\) . Тогда \(AH = OO\_{1} =\) [ ] см, \(HA\_{1} = O\_{1}A\_{1} - \) [ ] \( = \) [ ] \( - OA = \) [ ] \( = \) [ ] (см). В прямоугольном треугольнике \(AHA\_{1}:\) \(AA\_1 =\sqrt AH^{2} + \) [ ] \( = \) [ ] \( = \) [ ] см.
3. Боковая грань \(AA\_1B\_1B\) усечённой пирамиды является [прямоугольной|равносторонней|равнобедренной] трапецией, основания которой равны
   [ ] см и
   [ ] см, а боковая сторона равна
   [ ] см. Проведём в трапеции высоты \(AK\) и \(BM\) . Тогда \(KA\_{1} - \dfrac{1}{2}(\) [ ] \( – AB) = \) [ ] \(\sqrt{3}\) см, \(AK = \sqrt{AA\_{1}^{2}} - \) [ ] \( = \) [ ] \( = \) [ ] (см). \(S\_{AA\_1B\_1B} = \) [ ] (см \(^2\) ).
4. Площадь боковой поверхности \(S\_{бок}\) усечённой пирамиды в
   [ ] раза больше площади
   [ ] грани, т. е. \(S\_{бок} = 3S\_{AA\_{1}B\_{1}B} = \) [ ] \( \cdot\) [ ] (см \(^2\) ).
5. \(S\_{полн} = S\_{ABC} + S\_{A\_{1}B\_{1}C\_{1}} + S\_{бок}\) [ ] \(3\sqrt{3} + \) [ ] \( + \) [ ] \( = \) [ ] \( (\) [ ] \( + \) [ ] (см \(^2\) ).

Ответ: [ ] (см \(^2\) ).