Задание

Реши неравенства

\dfrac{\sqrt{4-x^2}}{x^2-1}\leqslant 0. (4)

Сначала решим уравнение:

\dfrac{\sqrt{4-x^2}}{x^2-1}=0.

Оно имеет два корня: x_1=-2 и x_2 =2, эти числа являются решениями неравенства (4). Решим строгое неравенство:

\dfrac{\sqrt{4-x^2}}{x^2-1}\lt 0, (5)

оно равносильно системе неравенств \begin{cases} 4-x^2\gt 0; \\ x^{2}-1\lt 0. \end{cases}

Эта система равносильна двойному неравенству -1\lt x\lt 1.

Следовательно, неравенство (5) имеет решения — все x такие, что -1\lt x\lt 1.

Объединим все найденные решения: -2; -1\lt x\lt 1; 2.

Ответ: x \in \{–2; 2\} \cup (-1;1).

\space

а) \dfrac{\sqrt{x^2-9}}{x^2-16}\geqslant 0;

б) \dfrac{\sqrt{x+2}\cdot \sqrt{3-x}}{x-1}\leqslant 0;

в) \dfrac{\sqrt{x+2}}{(x-1)\cdot \sqrt{3-x}}\geqslant 0;

г) \dfrac{(x-2)(x+3)}{\sqrt{x+2}+\sqrt{3-x}}\leqslant 0;

д) \dfrac{(x-2)(x+3)}{\sqrt{x+2}+\sqrt{3-x}}\geqslant 0.

Запиши в ответе числовые промежутки.

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .