Выполни задание

Построй график функции \(y = f (x)\) , если:

\(f(x) = \dfrac{x^3}{4(x-2)^2}\) .

Решение:

Функция \(f (x)\) определена при \(x \not 2\) , а прямая \(x=2\) — вертикальная асимптота графика функции; \(f (x) \gt 0\) при \(x \gt 0\) , \(f (x) \lt 0\) при \(x \lt 0\) , \(f (0) = 0\) , т. е. график проходит через точку \((0; 0)\) .

Прямая \( y = \dfrac{x}{4} + 1\) — наклонная асимптота графика функции \(f (x)\) при \(x \to \infty\) , причем при \(x \gt \dfrac{x}{4}\) график лежит [выше|ниже] асимптоты, а при \(x \lt \dfrac{x}{4}\) — [выше|ниже] асимптоты; в точке \(\left\dfrac{x}{4}; \dfrac{x}{4}\right)\) ; асимптота пересекает график функции. Имеем

\( f'(x) = \dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{3x^2(x-2)^2 -2x^3(x-2)}{(x-2)^4} = \dfrac{x^2(x-6)}{4(x-2)^3}\) ,

откуда следует, что функция \(f (x)\) возрастает при \(x \lt 2\) и при \(x \gt 6\) , а при \(x \in (2; 6)\) убывает. При переходе через точку \(x = 6 \) производная \(f'(x)\) меняет знак с минуса на плюс, поэтому \(x = 6\) — точка минимума функции \(f (x)\) , \(f (6) = \dfrac{27}{8}\) .

\(f''(x) = \dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{(3x^2 – 12x) (x – 2)^3 – (x^3 – 6x^2)3(x – 2)^2}{(x-2)^6} = \dfrac{6x}{(x-2)^6}\) .

Так как \(f''(x)\) меняет знак при переходе через точку \(x = 0\) , то \(x = 0\) — точка перегиба функции.

График функции \(f (x)\) изображен на рисунке