Выполни задание
Найди точки перегиба функции:
- \(f(x)=e^{\frac{1}{x}}\)
Решение:
Так как
\(f''(x)=\dfrac{2x+1}{x^4}e^{\frac{1}{x}}\) , \(x \not = 0\) ,
то \(f''(x)\) меняет знак при переходе через точку \(x\_0 = \) [ ],
которая является точкой перегиба функции \(f''(x)\) .
2. \(f(x)=x^2 \ln x\)
Решение:
\(f'(x)=2x\ln x+x\) ,
\(f''(x)=2 \ln x+3\) .
Функция \(f''(x)\) меняет знак при переходе через точку \( x\_0 = e^{-\frac{3}{2}}\) — корень уравнения \(2 \ln x + 3 = 0\) . Поэтому
[ ] — точка перегиба функции.
3. \(f(x)=x^3 e^{-4x}\)
Решение:
Так как
\(f''(x) = 2x(8x^2-12x+3)e^{-4x}\) , где
\(x\_1=\dfrac{3-\sqrt{3}}{4}\) , \(x\_2=\dfrac{3+\sqrt{3}}{4}\) ,
то функция \(f''(x)\) меняет знак при переходе через точки \(0\) ,
[ ], \(\dfrac{3+\sqrt{3}}{4}\) , которые являются точками перегиба функции \(f(x)\) .
4. \(f(x)=\dfrac{x^3}{(x-2)^2}\)
Решение:
\(f'' (x) = \dfrac{24x}{(x-2)^4}\) , \(x \not = 2\) .
Отсюда следует, что функция \(f(x)\) меняет знак при переходе через точку \(x =\) [ ], которая является точкой перегиба функции \( f (x)\) .