Задание

Ознакомься с примером

После прочтения текста переходи к следующему заданию. Вводить ответ здесь не требуется.

Среди чисел z, удовлетворяющих равенству |\bar{z}| = \left| z + \dfrac{4}{1-i} \right|, найди число с наименьшим модулем.

Решение.

Поскольку |\bar{z}| = |z|, равенство, данное в условии, примет вид |z| = |z + 2 - 2i| или |z - 0| = |z - (-2+2i)|.

Значение выражения |z - 0| — это расстояние от точки z на координатной плоскости до начала координат, а |z -(-2+2i)| — расстояние от этой же точки до числа -2+2i. Эти расстояния могут быть равными лишь в том случае, когда точка z принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку с концами в точках O(0; 0) и A(-2; 2). Середина этого отрезка находится в точке C(-1; 1). Поскольку отрезок OA перпендикулярен к своему серединному перпендикуляру, длина отрезка OC будет наименьшей среди длин отрезков OZ, где Z — точка этого серединного перпендикуляра. Поскольку модуль числа z равен расстоянию на комплексной плоскости от точки Z до начала координат, то наименьшее своё значение он примет, когда точка Z совпадёт с точкой C(–1; 1), т. е. будет соответствовать числу z=–1+i (см. рисунок).