Задание
Ознакомься с примером
После прочтения текста переходи к следующему заданию. Вводить ответ здесь не требуется.
Изобрази на комплексной плоскости множество чисел z, для которых выполняется условие \left|z - \dfrac{6}{1-i} \right| \leqslant \sqrt{2}.
Среди этих чисел найди число с наименьшим модулем и число с наибольшим модулем.
Решение.
\dfrac{6}{1-i} = \dfrac{6\cdot (1+i)}{(1-i)\cdot (1+i)} = \dfrac{6(1+i)}{2} =3(1+i) = 3+3i.
Условие примет вид |z -(3+3i)| \leqslant \sqrt{2}.
Множество таких чисел z на комплексной плоскости представляет собой множество точек, расположенных на и внутри окружности радиуса \sqrt{2} с центром в точке C(3; 3), что соответствует числу 3+3i; другими словами — это круг.
Проведём луч из начала координат O через центр окружности C, он пересечёт окружность в точках A и B. Луч OC будет являться биссектрисой первого координатного угла плоскости, так как координаты центра C(3; 3), а значит, |OM| = |CM| = 3, \angle OMC = 90 \degree, \triangle OMC — прямоугольный и равнобедренный, и поэтому \angle COM = 45 \degree. Дополнительно построим прямоугольные треугольники AKC и CDB. Они тоже равнобедренные, так как \angle CAK = 45 \degree и \angle BCD = 45 \degree. Поскольку |AC| = |CB| = \sqrt{2}, |AK| = |AC| \cdot \cos 45 \degree = \sqrt{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 1 и |CD| = |BC| \cdot \cos 45 \degree = \sqrt{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 1, а также |CK| = 1 и |BD| = 1.
Отсюда легко найти координаты точек A и B:
|OL| = |OM| - |LM| =|OM| - |AK| = 3 - 1 = 2;
|AL| = 2; |ON| = |OM| + |MN| =|OM| + |CD| = 3+1=4; BN=4.
Итак, (2; 2) — координаты точки A, что соответствует числу z_1 = 2+2i, а (4; 4) — координаты точки B, что соответствует числу z_2=4+4i. Число z_1 будет иметь наименьший из возможных модулей, а число z_2 — наибольший, поскольку модуль числа равен расстоянию от точки, соответствующей данному числу на координатной плоскости, до начала координат. В этом можно наглядно убедиться, если провести с центром в начале координат две концентрические окружности: одну, проходящую через точку A, другую — через точку B. Все точки, лежащие внутри кольца, образованного этими концентрическими окружностями, будут находиться от начала координат на расстоянии, большем или равном, чем |OA|, и меньшем или равном, чем |OB|. Построенный нами круг с центром C и радиусом \sqrt{2} \, (\sqrt{2}=|CA|=|CB|) будет расположен внутри этого кольца.
Итак, наименьший модуль имеет число z_1=2+2i, а наибольший — число z_2=4+4i.