Основано на упр. 73, стр. 37 Найди длину окружности, вписанной: в равносторонний треугольник со стороной а; в равнобедренный треугольник с углом 2α при вершине и боковой стороной а; в прямоугольный треугольник с острым углом α и противолежащим катетом а. Решение: 1) a30\degree\tg{30\degree}AD \cdotp \frac{\sqrt{3}}{3}\frac{\sqrt{3}}{6} a2 \pi r\frac{\sqrt{3}}{6} \cdotp 2a\pi \frac{\sqrt{3}}{3}\pi a На рисунке окружность с центром О и радиусом r вписана в равносторонний треугольник АВС со стороной АВ = а. В прямоугольном треугольнике ADO катет OD = r, катет AD = \frac{1}{2}, a \angle OAD, и следовательно, r = AD · = = и С = = = . 2) прямоугольномa \sin{\alpha}прямоугольномBAD\alpha\tg{\frac{90\degree - \alpha}{2}}\alpha \sin{\alpha} \cdotp \tg{\frac{90\degree - \alpha}{2}}2 \pi \sin{\alpha} \cdotp \tg{\frac{90\degree - \alpha}{2}} На рисунке окружность с центром О и радиусом r вписана в равнобедренный треугольник АВС, в котором АВ = ВС = а и В = 2α. 1) В треугольнике ABD с \angle D = 90\degree АВ = а, а \angle ABD = α , поэтому AD =. В треугольнике AOD с прямым углом D \angle OAD = \frac{1}{2} \angle = \frac{1}{2} (90\degree) поэтому r = = AD · = . Отсюда С = . 3) \tg{\alpha}\sin{\alpha}\frac{1}{2} a^2\frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}P\frac{ar(\cos{\alpha}+\sin{\alpha}+1)}{2\sin{alpha}}\frac{ar(\cos{\alpha}+\sin{\alpha}+1)}{2\sin{alpha}}\frac{\alpha \cdotp \cos{\alpha}}{\cos{\alpha}+ \sin{\alpha}+1}2 \pi r2 \pi \frac{\alpha \cdotp \cos{\alpha}}{\cos{\alpha}+ \sin{\alpha}+1} На рисунке окружность с центром О и радиусом r вписана в треугольник АВС, в котором \angle C = 90\degree, \angle A = \alpha, BC = a Поэтому АС = а :, AB = a : . S_{ABC} = \frac{1}{2} BC · AC = · . C другой стороны, S_{ABC} = \frac{1}{2} P · r = = \frac{1}{2} · r = Таким образом, \frac{\alpha^2 \cos{\alpha}}{2 \sin^2{\alpha}} = откуда r = и С = = .

Задание

Основанонаупр.73, стр.37
Найдидлинуокружности, вписанной:

вравностороннийтреугольниксосторонойа;
вравнобедренныйтреугольниксуглом2αпривершинеибоковойсторонойа;
впрямоугольныйтреугольниксострымугломαипротиволежащимкатетома.

Решение:

\(a\)
\(30\degree\)
\(\tg{30\degree}\)
\(AD \cdotp \frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(\frac{\sqrt{3}}{6} a \)
\(2 \pi r\)
\(\frac{\sqrt{3}}{6} \cdotp 2a\pi\)
\( \frac{\sqrt{3}}{3}\pi a\)

НарисункеокружностьсцентромОирадиусомrвписанавравностороннийтреугольникАВСсосторонойАВ=а.

ВпрямоугольномтреугольникеADOкатетOD=r, катетAD= \(\frac{1}{2}\) [ ], a \(\angleOAD\) [ ], иследовательно, r=AD·[ ]=[ ]=[ ]иС=[ ]=[ ]=[ ].

\(прямоугольном\)
\(a \sin{\alpha}\)
\(прямоугольном\)
\(BAD\)
\(\alpha\)
\(\tg{\frac{90\degree - \alpha}{2}}\)
\(\alpha \sin{\alpha} \cdotp \tg{\frac{90\degree - \alpha}{2}}\)
\(2 \pi \sin{\alpha} \cdotp \tg{\frac{90\degree - \alpha}{2}}\)

НарисункеокружностьсцентромОирадиусомrвписанавравнобедренныйтреугольникАВС, вкоторомАВ=ВС=аиВ=2α.

1)В[ ]треугольникеABDс \(\angleD=90\degree\) АВ=а, а \(\angleABD=α\) , поэтомуAD=[ ].

В[ ]треугольникеAODспрямымугломD \(\angleOAD\) = \(\frac{1}{2}\angle\) [ ]= \(\frac{1}{2}(90\degree\) [ ])поэтомуr==AD·[ ]=[ ].ОтсюдаС=[ ].

\(\tg{\alpha}\)
\(\sin{\alpha}\)
\(\frac{1}{2} a^2\)
\(\frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}\)
\(P\)
\(\frac{ar(\cos{\alpha}+\sin{\alpha}+1)}{2\sin{alpha}}\)
\(\frac{ar(\cos{\alpha}+\sin{\alpha}+1)}{2\sin{alpha}}\)
\(\frac{\alpha \cdotp \cos{\alpha}}{\cos{\alpha}+ \sin{\alpha}+1}\)
\(2 \pi r\)
\(2 \pi \frac{\alpha \cdotp \cos{\alpha}}{\cos{\alpha}+ \sin{\alpha}+1}\)

НарисункеокружностьсцентромОирадиусомrвписанавтреугольникАВС, вкотором \(\angleC=90\degree, \angleA=\alpha, BC=a\) ПоэтомуАС=а : [ ], AB=a : [ ] . \(S\_{ABC}\) = \(\frac{1}{2}\) BC·AC=[ ]·[ ].Cдругойстороны, \(S\_{ABC}\) = \(\frac{1}{2}P·r=\) = \(\frac{1}{2}\) [ ] \(·r=\) [ ]Такимобразом, \(\frac{\alpha^2\cos{\alpha}}{2\sin^2{\alpha}}\) =[ ]откудаr=[ ]иС=[ ]=[ ].

Похожие

Тот же тест