Основано на упр. 5, стр. 7. Найди остаток от деления числа а = 2^{187} + 3^{74} + 7^{257} на 10. Решение. Задачу можно сформулировать так: найти последнюю цифру числа a. В главе II учебника (§2, задача 5) было установлено, что последние цифры чисел 2^k, \space 3^k, \space 7^k повторяются через 4. Это означает, что если k = 4p + r, \space p \in N, r — остаток от деления k на 4 (r=1, 2, 3), то последние цифры чисел 2^k, \space 3^k, \space 7^k такие же, как у чисел 2^r, \space 3^r, \space 7^r, а если r=0 (k делится на 4), то последние цифры чисел 2^k, \space 3^k, \space 7^k такие же, как у чисел 2^4, \space 3^4, \space 7^4. Так как остатки от деления на чисел 187, 74 и 257 равны соответственно 3, 2 и 1, то последние цифры чисел 2^{187}, \space 3^{74} и 7^{257} равны последним цифрам чисел 2^3, \space 3^2 и 7^1, т.е. это цифры , и соответственно, а последняя цифра числа a — последняя цифра суммы 8+9+7, т.е. это цифра . Следовательно, остаток от деления числа a на 10 равен .

Задание

Основанонаупр.5, стр.7.

Заполнипропускиврешении

Найдиостатокотделениячисла \(а=2^{187}+3^{74}+7^{257}\) на \(10\) .

Решение.Задачуможносформулироватьтак: найтипоследнююцифручисла \(a\) .

ВглавеIIучебника(§2, задача5)былоустановлено, чтопоследниецифрычисел \(2^k, \space3^k, \space7^k\) повторяютсячерез \(4\) . Этоозначает, чтоесли \(k=4p+r, \spacep\inN\) , \(r\) — остатокотделения \(k\) на \(4\) ( \(r=1\) , \(2\) , \(3)\) , топоследниецифрычисел \(2^k, \space3^k, \space7^k\) такиеже, какучисел \(2^r, \space3^r, \space7^r\) , аесли \(r=0\) ( \(k\) делитсяна \(4\) ), топоследниецифрычисел \(2^k, \space3^k, \space7^k\) такиеже, какучисел \(2^4, \space3^4, \space7^4\) .

Таккакостаткиотделенияна[ ]чисел \(187\) , \(74\) и \(257\) равнысоответственно \(3\) , \(2\) и \(1\) , топоследниецифрычисел \(2^{187}, \space3^{74}\) и \(7^{257}\) равныпоследнимцифрамчисел \(2^3, \space3^2\) и \(7^1\) , т.е.этоцифры[ ], [ ]и[ ]соответственно, апоследняяцифрачисла \(a\) — последняяцифрасуммы \(8+9+7\) , т.е.этоцифра[ ] .Следовательно, остатокотделениячисла \(a\) на \(10\) равен[ ].

Похожие

Тот же тест