Основано на упр. 4, стр. 7 Докажи, что при любом n \in N число a = 6n^5 + 15n^4 + 10n^3 - n делится на 30. Решение. Нужно доказать, что a делится на 2, 3 и 5. а) Если n — чётное число, то a делится на , а если n — нечётное число, то a также делится на , так как 15n^4 - n делится на (сумма двух нёчетных чисел). б) Так как 6n^5 + 15n^4 + 9n^3 = b делится на , a = b + n^3 - n, где n^3 - n = c — число, делящееся на , то a = b + c делится на . в) Заметим, что число 5n^5 + 15n^4 + 10n^3 делится на . Поэтому a делится на тогда и только тогда, когда число d = n^5 - n делится на . Если n делится на , то и d делится на . Пусть n не делится на 5. Тогда n = 5p \pm 1 или n = 5q \pm 2, где р \in N, q \in N. Так как d = n(n^2 - 1)(n^2 + 1), то при n = 5p \pm 1 число n^2 - 1 делится на , а при n = 5q \pm 2 число n^2 + 1 делится на . Следовательно, d делится на при любом n \in N.

Задание

Основанонаупр.4, стр.7
Заполнипропускиврешении

Докажи, чтоприлюбом \(n\inN\) число \(a=6n^5+15n^4+10n^3 - n\) делитсяна \(30\) .

Решение.Нужнодоказать, что \(a\) делитсяна \(2\) , \(3\) и \(5\) .

а)Если \(n\) — чётноечисло, то \(a\) делитсяна[ ] , аесли \(n\) — нечётноечисло, то \(a\) такжеделитсяна[ ] , таккак \(15n^4 - n\) делитсяна .

б)Таккак \(6n^5+15n^4+9n^3=b\) делитсяна[ ] , \(a=b+n^3 - n\) , где \(n^3 - n=c\) — число, делящеесяна[ ], то \(a=b+c\) делитсяна[ ].

в)Заметим, чточисло \(5n^5+15n^4+10n^3\) делитсяна[ ] .Поэтому \(a\) делитсяна[ ]тогдаитолькотогда, когдачисло \(d=n^5 - n\) делитсяна[ ].

Если \(n\) делитсяна[ ] , тои \(d\) делитсяна[ ] .Пусть \(n\) неделитсяна \(5\) .Тогда \(n=5p\pm1\) или \(n=5q\pm2\) , где \(р\inN\) , \(q\in N\) . Таккак \(d=n(n^2 - 1)(n^2+1)\) , топри \(n=5p\pm1\) число \(n^2 - 1\) делитсяна[ ] , апри \(n=5q\pm2\) число \(n^2+1\) делитсяна[ ] .Следовательно, \(d\) делитсяна[ ]прилюбом \(n\inN\) .

Похожие

Тот же тест